1. 乘积 与商定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加证明设zi=r;(cos0,+isin0,)=r;ei01Z2=r2(cos02+isin02)=r2ei02则 ziz2=rir2(cos0i+isin0i)( cos02+isin02)= rir2[cos (0;+02)+isin(0;+02)=rir2e i(01+02)因此 ziz2l=rir2, Arg(ziz2)=Argzi+Argz231
31 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加. 证明 设 z1=r1 (cosθ1+isinθ1 )=r1e iθ1 z2=r2 (cosθ2+isinθ2 )=r2e iθ2 则 z1 z2=r1 r2 (cosθ1+isinθ1 )( cosθ2+isinθ2 ) = r1 r2 [cos (θ1+θ2 )+isin(θ1+θ2 )] =r1 r2e i(θ1+θ2) 1. 乘积与商 因此 |z1 z2 |=r1 r2，Arg(z1 z2 )=Argz1+Argz2
几何意义将复数z按逆时针方向旋转一个角度Argz2.再将其伸缩到z2/倍。(2)V71720,00.0x河定理1可推广到n个复数的乘积32
32 几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2 |倍. 定理1可推广到n 个复数的乘积. 1 o x y (z) 2 z1 z2 2 z2
注意： Arg(zjz2)=Argzi+Argz2由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集，等式两端可能取的值的全体是相同的，也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和它相等，并且反过来也一样。33
33 由于辅角的多值性，因此，该等式两端都是无穷多个 数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同 的, 也就是说，对于左端的任一值，右端必有一值和 它相等，并且反过来也一样。 注意：Arg(z1 z2 )=Argz1+Argz2
例1.设z, = -1,z2 = i,则 ziZ2 = -iArgz, =元+2m元m=0,±1,±2,.元+2n元Argz2n= 0,±1,±2,..一二：2元+2k元Arg(zi32) =k = 0,±1,±2,..23元元++2(m+ m/=-+代入上式2+2k元2要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.34
34 z = − z = i z z = −i 1 2 1 2 例1.设 1, ,则 Argz1 = + 2m m = 0, 1, 2, 2 0, 1, 2, 2 Argz2 = + n n = 2 0, 1, 2, 2 ( ) 1 2 + = Arg z z = − k k ( ) m n 2k 2 2 2 3 代入上式 + + = − + 要使上式成立,必须且只需k=m+n+1
定理2两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差证明设 z, =rjei0 ,z2 = reid2, z, ± 0,由复数除法的定义 z=z2 /z1， 即 ziz = Z2: llzil=2l 及Argzi+Argz=Arg z2 ( zi+0): Argz=Argz2-Argzi即 z = 2 = pi(02 -0)zir35
35 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差. 证明 2 1 2 2 ( ) 1 1 z r i z e z r − 即 = = Argz=Argz2 -Argz1 由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1 z = z2 ∵|z||z1 |=|z2 | 及Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0） 1 2 1 1 2 2 1 , 0 i i z re z r e z 设 = = ，