S1.7复数23 S1.7.2复数的几何表示 在平面中取一个直角坐标系Ox,我们用坐标为（巴，）的点P表示复数 之=x+1y.这样，复数就与平面中的点一一对应.x轴与实数对应，也称为实轴： y轴与纯虚数对应，也称为虚轴.与复数建立了这种对应关系的平面称为复平面 我们也常用向量OP表示复数z=x+i.这样复数z,复平面上的点P以 及向量OP之间建立了一一对应关系.如果1,2对应的向量分别为O乃，O乃 则1+2对应的向量恰为O乃+O乃.因此复数的加法运算和向量的加法运算 是一致的.由于复数，2,1+2对应的向量恰好构成了一个三角形，由三角形 两边之和大于第三边的性质可得到复数的三角不等式 31+2≤21+|2 (1.36) 复数z对应的向量OP的长度称为复数z的模，记作z=r=√2+ 从x轴正向逆时针旋转至向量OP所得的角0称为复数z的辐角，记作argz (图1.11).复数之的辐角并不唯一，它们彼此相差2元的整数倍.在实际中，我们 一般规定0≤ag2<2元，称之为辐角的主值.例如，arg(-i)=号.当然也可以 规定辐角主值在其他的范围，如-π≤rgz<元.规定复数z=0的辐角是不 定的. 图1.11复数的几何定义 复数x-y称为复数名=x+y的共轭复数，记为云.从几何上看，z和无关 于实轴对称，因此有|月=z,arg三=2r一arg之.关于复数的共轭有如下简单的 性质（证明留作习题）： 2=2元，21十22=+2,12=万2 (1.37 知道了复数z的模r与辐角日，则z可以表示为 z=x+iy=r cos0 +irsin0=r(cos0+i sin0), (1.38) 称上式为复数的三角表示.利用复数的三角表示，很容易实现复数的乘法运算 并且可以给予简单的几何解释
24第一章向量与复数 假设1=r1(cos01+isin01),2=r2(cos02+isin02),则由乘法定义知 21z2=rir2[(cos 01 cos 02-sin 01 sin 02)+i(sin 01 cos02 +sin 02 cos01)] =r1r2(cos(01+02)+isin(01+2) (1.39) 由此可得 122=121川22 (1.40) arg(2122)=arg 21+arg 22. (1.41 即复数乘积的模等于各复数模的乘积，复数乘积的辐角等于各辐角的和（如超出 主值范围，则还要减去或加上2红的整数倍).由此可以得到乘法的一个几何解 释.设复数w=r(cos0+isi加0)，则w·z表示将复数z对应的向量的模伸缩T 倍，再逆时针旋转0角.因此利用复数乘法可以方便地表示旋转变换， 复数的三角形式还有一种更为常用的表示方式.根据Euler公式 eio cos0+isin (只要给出复指数函数的适当定义，上述公式是可以证明的，这里我们可以将它看 成是一个记号)，模为r,辐角为0的复数z可记为z=re0.由(1.39)知 r1e9,r2e0=nrze0+8) 因此e0可以像普通的指数函数一样进行运算.例如。 (re0)n=ren8,n=0,士l,土2，. (De Moivre公式). (1.42 例1.7.1求复数z=1+cos0+isin0(-元≤0<π)的三角形式. 解 问=V+or+rg=2o到=2号 agg=ams1+=anam(o)-号 2c0s2 从而=2m(号+in 例1.7.2在复数域范围内求方程zn=a的根，其中a为复数，n为正整数
$1.7复数25 解设a=re0,其中r≥0,0≤0<2元.设z=se,则 s"eind=reio 因此 8=克，。=9+2mk=0,1.,n-1) n 所求方程有n个不同的根，它们是 re(k=0,1,.,n-) ◇ 本节最后，我们给出两个例子说明复数在几何中的应用 例1.7.3证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和. 证明假设平行四边形某相邻两边向量对应的复数分别为1,2，则两对角 线向量分别对应复数+2与一2，于是我们只需证明 a+222+11-22=2(0a2+122) 实际上 11+2=(21+2)(1+2)=(21+22)(a+2) =11+212+221+22 =2+21动+2+222 同理可得 1-222=122-2-22a1+22 两式相加，即得要证的等式 例1.7.4在平面直角坐标系Oxy中，求将点P=(x,)绕原点逆时针旋 转0角后所得点P的坐标. 解设P'的坐标为(x,).点P与P'对应的复数分别为z=x+iy及 2=x+i可.根据复数乘法的意义，=e9z,即 '+iy'=(x+iy)(cos0+isin)=(xcos0-usin)+(x sin0+ycos0)i. 因此， ∫x'=xcos0-ysin0, (1.43) y'=x sin+ycose. 上述公式即平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转日角的点变换公式
26第一章向量与复数 *S1.8数 域 复数集C的任何一个子集称为一个数集.自然数集N,整数集Z,有理数集 Q,实数集R都是大家熟知的数集， 设F为一个数集，在F中任取两数作某种运算，如果其结果仍在F中，则 称数集F对这种运算是封闭的.例如C,R,Q对数的加、减、乘、除运算是封闭 的，Z对数的加、减、乘运算是封闭的，但对除法运算不封闭，而N只对加法、乘 法运算封闭. 定义1.8.1设数集F至少包含两个不同的元素，如果F对数的加、减 乘、除运算是封闭的，即当a,b∈F时，a士6，ab,号b≠0)∈E那么称F为 数域. 由定义知，C,R,Q为数域，分别称为复数域、实数域和有理数域.Z,N则不 是数域 由定义不难看出，一个数域必含有0,1两个元素.实际上可以证明，在通常 的四则运算下任何数域都包含有理数域（读者不妨证明）.下面的例子表明，除了 上述三种数域，还有其他的数域。 例1.8.1证明数集Q(v2)={a+bV2:a,b∈Q}为一个数域 证明首先Q(√②)对加、减运算封闭是显然的.任取Q(√②)中的两个元素 a+b√2，c+dv2, (a+bv2)(c+dv2)=(ac+2bd)+(ad+bc)v2. 而当c+d2≠0时， 器-名渴-器多a 由于a,b,c,deQ,Q为数域，所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q,即Q(V2)对乘法 运算是封闭的.又由于c2-2P≠0，所以 普ea器eo be-ad 即Q(√②)对除法运算是封闭的.故Q(√②)为一个数域 口 在本书的后续章节中，我们考虑的数域F均指包含有理数域、运算为通常 四则运算的数域，如实数域或复数域等
51.9求和符号27 *s1.9求和符号 为了后面的需要，我们在这里简单介绍一下求和符号的运用 设a1,a2,.,an为n个数，通常我们用∑a,表示和式a1+2十.+an =1 其中∑为求和符号，i为求和指标，∑的上、下标表示求和指标：的取值范围. 注意求和指标可以用其他的字母代替，例如∑a,∑s表示的都是同一个和 1 式.容易看出，求和符号满足以下性质： ∑a+6)=a,+ =1 ∑a:=入∑a:(其中A为常数 1 在线性代数课程中，我们经常会遇到双重甚至多重求和.多重求和的原则是 圆内向外对每个求和符号逐达求和，例如公中，就应该先对求和指标 求和，再对求和指标方求和.在对指标求和时，指标方是固定不变的，因此有 则=a+a吗+.+a i=1 所以 分2a-u+++a =1 +.+a =1 5=1 j=1 从上式可以看出∑∑等于所有a,1≤i<n1≤j≤m的和，同样的道 =1=1 理，上∑表示的也是所有，的和.事实上，如果我们将这些数与排成如 =1=1 下的一个方块 a11 a12.aim a21a22·a2m anl an2anm