18第一章向量与复数 解设△ABC的面积为S,由向量积的几何意义知S=号AB×AC.而 A店=(-3，-1,1，A0=(1,3,3),所以 i方k AB×AC=-3-11=-6i+10-8k 133 因此 5=2V-69+102+(-8=5v5 另-方面，由S=号BGh及BC=4,42)可解得h=5v2 ◇ §1.5向量的混合积 S1.5.1混合积的定义 给定三个向量a,b,c,称(a×b),c为a,b,c的混合积.它是一个数量. 以a,b,c为棱的平行六面体的体积V等于以a,b为边的平行四边形的面 积S乘以高h(图1.10)，即V=Sh.由向量积的定义知S=a×b外；另一方面， 设a×b与c的夹角为g,则有h=cll cos.于是 V=la×bllcl cos ol=l(a×b)·c 1×b 图1.10向量的混合积 注意到p为锐角时，a,b,c构成右手系，V=(a×b)c当p为钝角时，a,b,c 构成左手系，V=-(a×b)·c.因此混合积(a×b)·c表示的是以a,b,c为棱的 平行六面体的“有向体积”.即：当α，b,c为右手系时，就是该平行六面体的体 积：当a,b,c为左手系时，它是该平行六面体体积的负数. 由于轮换α，b,c的次序时，不会改变左右手系，因此混合积的值不变.即 (a×b)c=(b×c)a=(c×a)b. (1.27)
S1.5向量的混合积19 另一方面，交换a,b,c中任意两个的次序会改变左右手系，因此混合积的值改变 符号，例如， (a×b)c=-(b×a)·c. (1.28) 此外，当a,b,c中任意两个平行时，混合积为零，例如， (a×b)a=(axb).b=0. S1.5.2直角坐标系下混合积的计算 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(C1,c2,c3),因为 a.xb=a1 a2 a3 b2 ba b1 bz 0 b2 b1 b2 b3 所以 (a×bc=as。 a1 a3 gg9,32+62@ 即 a1 a2 a3 (a×b)·c=b1b2b3 (1.29 C1 C2 C3 命题1.5.1三个向量a=(a1,a2a3),b=(亿1，b2,bg,c=(c1,c2,c3)共面当 且仅当 a1 a2 a3 b1 b2 63 =0. C1 C2 c3 证明由于混合积(a×b)·c表示的是以a,b,c构成的平行六面体的有向 体积，a,b,c共面当且仅当(a×b)·c=0.由(1.29)即得命题. 例1.5.1设四面体的四个顶点为A(1,2,3),B(2.1,4),C(1,35),D(3,2,1), 求该四面体的体积. 解所求四面体的体积V是以AB,AC,AD为棱的平行六面体的体积的 六分之一，故 V=专I(AB×ACAD
20第一章向量与复数 由于AB=(1,-1,1),AC=(0,1,2),AD=(2,0,-2),所以 1-11 (AB×AC)·AD=012=-8. 20-2 于是得到V=专 S1.5.3二重向量积 给定三个向量a,b,c,称(a×b)×c为这三个向量的二重向量积. 命题1.5.2对任意向量a,b,c,有 (a×b)×c=(a·c)b-(b·c)a 证明取一个右手直角坐标系，设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,bg),c=(c1,c2,c3). 只要验证等式两边的向量具有相同的坐标即可.由于 a xb=(a2b3-a3b2,a361-a1b3,a1b2-a261), 所以(a×b)×c的第一个坐标为 (a3b1-a1bg)c3-(a1b2-a2b1)c2. 另一方面，(a·cb-(b·c)a的第一个坐标为 (a1c1 +a2c2+a3c3)61-(b1c1 +b2c2+b3c3)a1 =(a3b1-abs)c3-(a1b2-a2b1)c2. 因此等式两边的向量的第一个坐标相同，同理可证另两个坐标也相同，从而等式 成立. 上述公式通常称作二重向量积展开式，从这个公式可以看出，向量积不满足 结合律.就是说，一般情况下， (a×b)×c≠ax(b×c), 因为上式左边是a和b的线性组合，而右边是b和c的线性组合 例1.5.2证明：(a×b),(c×d)=(a·c(b·d)-(a·d)(b·c
51.6高维数组向量21 证明 (a×b)·(c×d)=(a×b)×c)·d =(a·c)b-(b.c)a)·d =(a·c(b·d-(a·d)(bc ◇ s1.6高维数组向量 在现实生活中，很多量无法在三维空间中表示，如物体在某点的温度、压力 速度等.因为物体的每一点的位置要用一个三维坐标表示，温度、压力等量还要 一个坐标表示.因此，表示物体在某一点的温度（或压力）要四个坐标.而表示物 体一点的速度则要六个坐标.所以有必要将三维向量推广到高维向量 取定一个坐标系，一个空间向量可以用一个三元数组（坐标）来表示.向量 的线性运算（加法与数乘）都可以转化为坐标运算.因此，将三维向量推广到高维 的一个直接方法是通过多元数组来定义 定义1.6.1一个n维数组向量a是一个有序的n元数组 a=(a1,02,·,an） (1.30) 其中a,∈F(i=1,2,·,n)称为向量a的第i个分量.这里F表示实数集、复 数集或其他数域（定义见s1.8) 根据需要，n维数组向量有时写成行的形式，如a=(a4,a2,.,an)称为行 向量：有时需要写成列的形式，如 (1.31) 称为列向量. 给定两个n维数组向量a=(a1,a2,.,an)与b=(b1,b2,.,bn),规定a 与b相等当且仅当它们对应的分量分别相等，即=b,i=1,2,·,n 定义n维数组向量的加法与数乘运算如下： a+b=(a1+b1,a2+b2,.,an+bn) (1.32) 入a=(Aa1,入a2,·,λan)
22第一章向量与复数 即按分量分别执行加法与数乘运算.规定零向量0=(0，·，0)，负向量-a= (一a1,·,一an).容易验证，数组向量的加法与数乘运算满足几何向量的性质 (1.1）-(1.8). 定义了向量的加法与数乘，就可以引进向量的一种重要的运算一线性 组合 定义1.6.2给定一组n维数组向量a1,a2,.,am及一组数1,2，·，m 称和式 入a1+2a2++入mam 为a1,a2,·,am的线性组合，入1,2，·，入m称为组合系数.如果a可以写成 a1,a2,.,am的线性组合，则称a可以用a1,a2,.,am线性表示. 用e=(0,.,1,·,0)表示第i个分量为1，其余分量为0的n维数组向 量，e1,·,em称为基本向量.任何一个n维数组向量都可以表示为基本向量的 线性组合.实际上，设a=(a1,a2,an),则 a=a1e1+a2e2+·+anen 关于数组向量的一般理论我们将在第五章详细研究. s1.7复数 在这一节中，我们简单回顾一下有关复数的一些知识，特别是关于复数的几 何表示与运算 S1.7.1复数的四则运算 复数就是形如z=x+1y的数，其中i为虚数单位√一工，而工，y为实数，分 别称为复数z的实部和虚部，记作Rez和Ima 设=1十1,2=2+为两个复数，复数的加法与减法定义为 24+22=(知1+x2)+i(1+2), (1.33) 21-2=(x1-x2）+i(1-2) 复数的乘法与实数的乘法一样，只要注意2=一1即可.就是说 2=(x1+i劝)(a2+i2)=(x1x2-h2)+i(c12+c2h) (1.34) 当=x1+1≠0时，除法定义为 名+贵-名十治-删-+”+ (1.35) D1+i1 x行+所