28第一章向量与复数 那么上∑就是先固定一个对上述方块的第；列求和，再将得到的和相 加：而∑∑，则是先固定一个i,对第1行求和，再将得到的和相加.因此我 1扫1 们有 m =1=1 1j=1 上式表明在多重求和时，可以交换求和符号的次序.这一点非常重要，今后会经 常用到. 尽管是多重求和，有时也可以只用一个求和号表示.例如∑就是 工有些时候我们并不是对所有的项求和面只是对满足一定条件的项 1≤i,JSn 求和.这时我们通常将这些条件写在求和符号的下方.例如， ∑aj=a11+(a12+a2）+(a13+a23+a33】 1sisj<n +.+(a1n+a2n+.+ann) 表示的是满足i≤方的所有项的和.如果用二重和式表示，可得 nn 1≤i≤j≤n 注意上式中的后一个等式，形式上似乎与前面所说的求和可交换次序不符，这是 由于和式∑上中，内层的求和乃，中，指标1的取值范围涉及外层指标 11 i1 j,这时就不能轻易地直接交换求和次序了 创12空-（公）（区 =11 证明在左端的二重求和中，先固定一个j,对指标i求和.这时b与求和 指标无关，可看成常数，可以提到求和号的外面，所以 2(公) 11
习题一29 再对了求和时，上4，与求和指标)无关，可看成常数，因此有 )(含 ◇ 求和符号还有更一般的形式.设A为一个有限集，A中每个元素入对应了 一个数A,我们将所有(A∈A)的和记为∑a·上面介绍的∑a:可以看 cA 成一个特例，即取A={1,2,·,小.今后在定义n阶行列式时，我们要用到这 样的求和符号.在那里，A为n个元素的所有排列构成的集合 最后，介绍一下乘积符号几.设a1,a2,·,am为一列数，我们用a:表示 1=1 乘积a1×2×.×a·乘积符号的上、下标的含义与求和符号完全一样，不再 赘述. 习题一 注：以下各题中涉及的坐标系均为直角坐标系。 在 1.设AM=MB,证明：对任意一点O,O=号(OA+OB) AM:M品上花段O为一定点，A,B,C为不共线的三点.证明：点M位于平面ABC上的充分必 要条件是存在实数k1,2,k,使得 入tMtY=0? OM=k1OA+2OB+kO元，且k1+k2+3=1. 3.证明：向量a-b+c,-2a+3b-2c,2a-b+2c线性相关 4,证明：三维空间中四个或四个以上的向量一定线性相关 AbC是入Aa传性A 5.设e1,e2,e3为一组基， )证明：a=e1+2e2-e3,b=2e1+e2+e习不NW原证% 2at6+r花o】 (2)设c=3e1+xe2+2e3,当x取何值时，a,b,c共面？ =3e,+2e为组基：A:B@C低司 6.已知三点A(2,1,-1),B(3,5,1),C(1,-3,-3),问A,B,C是否共线？ A20 7.已知线段AB被点C(1,2,3)和D(2,-1,5)三等分，求端点A,B的坐标， 8.已知向量a与Ox轴和Oy轴的夹角分别是a=60°，0=120°，且|a=2,求a的 坐标. 9.设a=(1,-2,4),b=(2,2,1),试计算ab,(a+b)·(a-b),(a-b)2. 10.设三个向量a,b,c两两间的夹角为45°，且a=1,bl=2,c=3.求向量 a+2b-c的模， 11.设a,b,c是满足a+b+c=0的单位向量，试求a·b+bc+ca的值
张 ntwutni -*1 A 1 张1 是 ⼋ M.mn 线 世 细 多 㱺 不⽤反证法 _Mthi 届⼗ 吨 + C - A 落-0
30第一章向量与复数 12.设向量a,b的夹角为60°，且la=1,bl=2,试求(a×b)2,I(a+b)×(a-b儿 13.设向量a=(1,-1,2),b=(2,3,-4),求a×b,(a+b)×(a-b). 14.设一个四面体的顶点为A(1,2,3),B(-1,0,2),C(2,4,5),D0,-3,4),求它的体积. 15.判断下列结论是否成立，不成立时请举例说明 (1)若a,b=0,则a=0或b=0 (2)若a×b=a×c,则必有b=c: (3)(a·b)c=a(b·c: (4)(ab)2=a2.b2 (⑤)(a+b)×(a+b)=a×a+2a×b+b×b: (⑤(a×b)c=a×(bc). te二仙a×br-owr-abg 16.证明下列等式： (2)(a×b)×c+(b×c)×a+(c×a)×b=0. 17,证明共轭复数的下列性质： |z=z元，1+2=1+2,21项=12 1风设：=m0+i血0≠1求告号 19.求下列和式： (1)1+cos0+cos20+.+cosne: (2)sin 6+sin 20+.+sin ne. 20.证明：1+12+a1-22=(1+22)(1+12)
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第二章空间解析几何 在第一章中，我们介绍了向量、坐标的概念以及向量的几种代数运 算，在本章中，我们将通过代数方法来描述和解决向量空间中的几何问 题.具体地说，我们在空间中取定了一个右手直角坐标系[O:e1,e2,e3 我们用向量和坐标来表示，点，用方程来表示直线、平面、曲线、曲面等 几何对象，并通过代数运算来研究夹角、距离、面积、体积等几何量 S2.1直线与平面 直线和平面是最基本也是最常见的几何对象.在本节中，我们将通过向量运 算来导出直线和平面的方程，并研究点、线、面之间的位置关系， §2.1.1直线的方程 在空间中，过任意不同两点A,B可作一条直线L.对于直线上任意点P, 由于向量AP与向量AB平行，故存在实数七，使得AP=t·AB(图2.1).于是 OP=OA+t.AB. (2.1) 称(2.1)式为直线e的参数方程.非零向量AB或BA称为直线的方向向量， 而t称为参数.当t取遍所有实数时，参数方程给出直线上的所有点.当t取 遍区间0,1)时，得到线段AB:当t取遍区间0，o∞)时，得到射线AB. B 图2.1直线的方程 设点A的坐标为(a1,a2,a3),向量AB的坐标表示为(u1,u2,u3,点P的坐
32第二章空间解析几何 标为（红，z),于是直线的参数方程可写成坐标形式 z ai+ut, y=a2 u2t, (2.2) 2 a3 u3t. 从中消去参数七，则可得到直线的点向式方程 t-01=y-2=名-3 (2.3) 1 例2.11求经过点(1,2,3)和(4,5,6)的直线的点向式方程. 解所求直线的方向向量为(3,3,3)，故点向式方程为x-1=y-2=z-3. 例21.2求过点1,11)且与直线+1=y+2=+3平行的直线的 4 5 6 点向式方程 解所求直线的方向向量为45,6，点向式方程为1=5=6】 S2.1.2平面的方程 给定空间中一个点M及非零向量n,存在唯一的一个平面π过M且与给 定的非零向量n垂直.对于平面x上任意点P,都有MP⊥n(图2.2)，于是得 到等式 MP.n=0 (2.4) 图2.2平面的点法式方程 上式称为平面丌的点法式方程.非零向量称为平面π的法向量.整个空间被 平面π分成三部分，满足MP,n>0的点P在平面的一侧，满足M币·n<0 的点P在平面的另一侧，满足MP,n=0的点P在平面π上 设点M的坐标为(m1,m2,mg,n的坐标为(m,n2,n3),点P的坐标为 (红，)，则点法式方程(2.4)可写成坐标形式 1(x-m1)+n2(y-m2)+n3(z-m3)=0