5.4二阶线性方程解结构 补充内容 1.数域：设F是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果F中的任意两个 数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是F中的数，那么F就称为 一个数域显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集 合都是数域而全体整数组成的集合就不是数域。 如果数的集合F中任意两个数作某一运算的结果都在F中，我们就说数集F对这 个运算是封闭的因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含0与1在内的数集F对 于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）是封闭的，那么F就称为一个数域， 2.线性空间：设V是一个非空的集合，F是一个数域，在集合V的元素之间，定 义了一种运算，称为加法：即对V中的任意两个元素a,b都按某一法则对应于V中的 个元素，称x为a,b之和，记为r=a+在数域F与集合V的元素之间还定义一种运 算，称为数量乘法：即对V中任意元素a和数域F中任意数入，都按某一法则对应于V中 唯一确定的一个元素，记为y=a,且加法满足以下四条规律： (1).a+6=b+a (2).(a+)+c=a+b+c, (3).V中存在一个元素0，使对V中任意元素a,有a+0-a,称此元素0为V的零 元素 (4).对于V中每个元素a,都有V中的元素b,使得a+b=0,称为b为a的一个负元 ().1a=a(6).A(a)=(4)a: 数量乘法与加法满足下面两条规律： (T).(A+p)a=Xa+ua;(8).A(a+)=Xa+uub. 则称V是数域F上的一个线性空间，有时将V称为向量空间记为V(F).V中的元 素称为向量。 3.线性组合（线性表出） 设a1,a2,.,am(m≥1)是向量空间V(F)中一组向量，1,2，.，Am是数 域F中的一组数，若V(F)中的向量可以表示为 a=Aa1+2a2+.+Xmam 则称向量a是向量组a1,2,.,n的一个线性组合，有时也说向量a可经向量值a1,a2,.,an线 性表出。 4.线性相关（线性无关）
· 1 · 5.4 Ç 5 ê ß ) ( ÷øSN 1. Íç: F¥dò EÍ|§8‹,Ÿ•ù)0Ü1, XJF•?ø¸á Í(˘¸áÍå±É”)⁄! !»!˚(ÿÍÿè")E,¥F•Í,@oF“°è òáÍç.w, NknÍ|§8‹! N¢Í|§8‹! NEÍ|§8 ‹—¥Íç. NÍ|§8‹“ÿ¥Íç. XJÍ8‹F•?ø¸áÍä,ò$é(J—3F•,·Ç“`Í8FÈ˘ á$饵4.œd,Í罬èå±`§,XJòáù¹0Ü13SÍ8F È u\{!~{!¶{!ÿ{(ÿÍÿè")¥µ4,@oF“°èòáÍç. 2. Ç5òm: V¥òáöò8‹,F¥òáÍç,38‹VÉÉm,½ ¬ ò´$é,°è\{:=ÈV•?ø¸áÉa, b—U,ò{KÈAuV •ò áÉx,°xèa, bÉ⁄,Pèx = a + b;3ÍçFÜ8‹VÉÉmѽ¬ò´$ é, °èͲ¶{:=ÈV•?øÉa⁄ÍçF•?øÍλ,—U,ò{KÈAuV• çò(½òáÉy,Pèy = λa,Ö\{˜v±eo^5Æ: (1). a + b = b + a, (2). (a + b) + c = a + (b + c), ( 3). V•3òáÉ0,¶ÈV•?øÉa,ka + 0 = a,°dÉ0èV" ɶ (4). ÈuV•záÉa,—kV•Éb,¶a + b = 0,°èbèaòáK É; (5). 1a = a (6). λ(µa) = (λµ)a; Ͳ¶{Ü\{˜ve°¸^5Æ: (7). (λ + µ)a = λa + µa; (8). λ(a + b) = λa + µb. K°V¥ÍçF˛òáÇ5òm,kûÚV°èï˛òmPèV(F). V• É°èï˛. 3. Ç5|‹(Ç5L—) a1, a2, · · · , am (m ≥ 1)¥ï˛òmV(F)•ò|ï˛ßλ1, λ2, · · · , λm¥Í çF•ò|Í,eV(F)•ï˛å±L´è a = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam K°ï˛a¥ï˛|a1, a2, · · · , amòáÇ5|‹,kûè`ï˛a å²ï˛äa1, a2, · · · , amÇ 5L—. 4. Ç5É'(Ç5Ã')
2 给定向量空间V(F)中的一个向量组a1,a2,·,am(m≥1)，如果存在数域F中 的不全为零的m个数1,2， .,Am使X1a1+2a2++mam=0,则称向量组a1,a2,.,an线 性相关，如果当且仅当1=2=.=Am=0,才有 1a1+A2a2+.+Xmam=0 ,则称向量组a1,2,·,am线性无关. 5。n维线性空间、线性空间的极大线性无关组、线性空间的基 如果向量空间V()中有n个线性无关的向量a1,2,.,a,但任意m+1个向量a1,2,.,a,a+1都 是线性相关的，那么就称V是n维的线性空间，记作Vn或dimV=n,此时称a1,a2,.,an为V的 一个极大线性无关组，也称为向量空间V()的一组基，向量空间VF)中任意元素α都 可以由它线性表出，即a=1a1+2 +an称(， ,n)为向量a关于 基a1,a2,.,an的坐标如果存在V中任意多个线性无关的向量，那么就称V是无限 维的线性空间当V中仅含零向量，就称它为零维空间. 5.4.1二阶线性齐次方程通解的结构 二阶线性微分方程的一般形式是 ”+px)y+q(e)y=fe, (6.410 其中n(qf回∈C(a,. 方程 g”+p)+q()g=0(5.4.2 称为方程(5.4.1)对应的齐次方程. 一·二阶线性齐次方程集合是一个线性空间 定理5.4.1如果h()和2（）都是(5.42)的解，则对任何常数c1,2 c1h(国)+c22(口) 也是(5.4.2)的解. 证直接验证即得到定理 定理5.4.1说明(5.42)的解空间是 一个线性空间如果能找出空间的极大线性无 关组（即基底），这个解空间的结构就完全清楚了 二.函数线性相关与线性无关的定义 定义5.41设()p2(), ,m()是定义在(a,)上的函数，如果存在不全 为0的常数c1,c2,.,cm,使得在(a,b)上， c1p1(r)+c2p2(r)+.+.+cmpm(r）=0
· 2 · â½ï˛òmV(F)•òáï˛|a1, a2, · · · , am (m ≥ 1),XJ3ÍçF• ÿ è"máÍλ1, λ2, · · · , λm¶λ1a1+λ2a2+· · ·+λmam = 0,K°ï˛|a1, a2, · · · , amÇ 5É',XJÖ=λ1 = λ2 = · · · = λm = 0,‚k λ1a1 + λ2a2 + · · · + λmam = 0 ,K°ï˛|a1, a2, · · · , amÇ5Ã'. 5. nëÇ5òm!Ç5òm4åÇ5Ã'|!Ç5òmƒ XJï˛òmV(F)•knáÇ5Ã'ï˛a1, a2, · · · , an,?øn+1áï˛a1, a2, · · · , an, an+1— ¥Ç5É',@o“°V¥nëÇ5òm,PäVn½dimV = n,dû°a1, a2, · · · , anèV òá4åÇ5Ã'|,è°èï˛òmV(F)ò|ƒ,ï˛òmV(F)•?øÉa— å±dßÇ5L—,=a = λ1a1 + λ2a2 + · · · + λnan,°(λ1, λ2, · · · , λn)èï˛a'u ƒa1, a2, · · · , anãI;XJ3V•?øıáÇ5Ã'ï˛,@o“°V¥ÃÅ ëÇ5òm.V•=¹"ï˛,“°ßè"ëòm. 5.4.1 Ç5‡gêßœ)( Ç5á©êßòÑ/™¥ y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f(x), (5.4.1) Ÿ•p(x)!q(x)!f(x) ∈ C(a, b). êß y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0 (5.4.2) °èêß(5.4.1)ÈA‡gêß. ò. Ç5‡gêß8‹¥òáÇ5òm ½n5.4.1 XJy1(x)⁄y2(x)—¥(5.4.2)),KÈ?¤~Íc1, c2, c1y1(x) + c2y2(x) è¥(5.4.2)). y Üy=½n. ½n5.4.1`²(5.4.2))òm¥òáÇ5òm.XJUÈ—òm4åÇ5à '|(=ƒ.),˘á)òm(“ òŸ . . ºÍÇ5É'ÜÇ5Ã'½¬ ½¬5.4.1 ϕ1(x), ϕ2(x), · · · , ϕm(x)¥½¬3(a, b) ˛ºÍ,XJ3ÿ è0~Íc1, c2, · · · , cm,¶3(a, b)˛, c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) + · · · + · · · + cmϕm(x) ≡ 0,
3 则称21，p2,·,m(在(a,b)上)线性相关否则，称它们线性无关 例5.4.11，sin工，cosr在实轴上线性无关，而1，sin2x,cos2x在实轴上线性相关 证若1，sn工，c0sx线性相关，则有不全为0的c1,2,c3使 1+e2simx+C3 COS三0 分别取x=0,牙，元，就得到 9+cg=c1+9=9-cg=0 只有c1=c2=c3=0.矛盾.故1，sn工，c0s线性无关又由 -1+sim2x+cos2x三0. 可知1，in2工，cos2线性相关 例5.4.2函数组1，工，.，xm(m∈Z+)在实数轴上线性无关 证明（反证法）假设函数组1，·，xm(m∈Z+)在实数轴上线性相关，则有 不全为零的常数C。.CC.,C使得 Co+Cx+C2x2+.+Cmxm=0 在实轴上任意点均成立，但是C+Cr+C22+.+Cmm是一个非零多项式，它至 多有m个实根，故C0+C工+C2x2+.+Cmxm=0不可能在实轴上均成立. 三.两个可微函数h(c),2(工)的线性相关与线性无关 1.Wronsky行列式 定义5.4.2设h()和()是可微函数称 a倒=h国 为1(r)和2()的Wronsky行列式 2.任意两个可微函数线性相关的必要条件（线性无关的充分条件） 定理5.4.2设h()和2(e)可微且线性相关，则()三0. 证因为h()和2()可微且线性相关，所以有不全为0的常数c1,使 q1()+c2()=0, 由此又有 C1(x)+c25(x）≡0
· 3 · K°ϕ1, ϕ2, · · · , ϕm(3(a, b)˛)Ç5É'.ƒK,°ßÇÇ5Ã'. ~5.4.1 1,sin x, cos x3¢¶˛Ç5Ã', 1,sin2 x, cos2 x 3¢¶˛Ç5É'. y e1,sin x, cos xÇ5É',Kkÿ è0c1, c2, c3 ¶ c1 + c2 sin x + c3 cos x ≡ 0. ©Ox = 0, π 2 , π,“ c1 + c3 = c1 + c2 = c1 − c3 = 0, êkc1 = c2 = c3 = 0.gÒ.1,sin x, cos xÇ5Ã'.qd −1 + sin2 x + cos2 x ≡ 0, å,1,sin2 x, cos2 xÇ5É'. ~5.4.2 ºÍ|1, x, · · · , xm (m ∈ Z +)3¢Í¶˛Ç5Ã'. y² (áy{) bºÍ|1, x, · · · , xm (m ∈ Z +)3¢Í¶˛Ç5É',Kk ÿ è"~ÍC0, C1, C2, · · · , Cm¶ C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m = 0 3¢¶˛?ø:˛§·,¥C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m¥òáö"ıë™,ßñ ıkmá¢ä,C0 + C1x + C2x 2 + · · · + Cmx m = 0ÿåU3¢¶˛˛§·. n. ¸áåáºÍy1(x), y2(x)Ç5É'ÜÇ5Ã' 1. Wronsky 1™ ½¬5.4.2 y1(x)⁄y2(x)¥åáºÍ,° w(x) = y1(x) y2(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) èy1(x)⁄y2(x)Wronsky1™ 2. ?ø¸áåáºÍÇ5É'7á^á(Ç5Ã'ø©^á) ½n5.4.2 y1(x)⁄y2(x)åáÖÇ5É',Kw(x) ≡ 0. y œèy1(x)⁄y2(x)åáÖÇ5É'ߧ±kÿ è0~Íc1, c2¶ c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0, ddqk c1y 0 1 (x) + c2y 0 2 (x) ≡ 0.
-4 这时必有 倒= h())-2(()=0. ()() 由定理5.42可知，h(c),2(c)是(a,b)中不恒为零的可微函数，若有x0∈(a,b)使(ro)≠ 0,则1（口）与班(c)线性无关 定理5.4,2的逆命题不一定成立 例如 ，x≥0 与 0-{8 线性无关，但()三O. 3.任意两个不恒为零的可微函数线性相关（线性无关）的充要条件 定理5.4.3设1（工）和2（工）都不恒为零， 则(与线性相关的充分必婴条件是存在非零常数c使Qn 证“→ 因为h()与2(x)线性相关，故有不全为零的常数c,2,使 9班（）+c2欢()=0 取xo,使2(o)≠0，于是就必有c1≠0，否则由上式可知也要有e2=0.同理c2≠0.于 是令c=-号（≠0），就有 2()=c1() “←”若2()=c()(c≠0).由c()-2(d)=0,可知h()与2()线性相 关 4。二阶线性齐次方程任意两个解h(c,()线性无关（线性相关）的充要条件 定理5.4.4设1（口）和h(c)是(5.4.2)的解，则h(c)和2(c)线性无关的充分必要 条件是它们的m(c)在(a,b)中处处不为0. 证充分性十分明显.下面证明必要性. 设曰)和2（工）是5.42)的线性无关解，如果有0∈(a,)使 C)Bco
· 4 · ˘û7k w(x) = y1(x) y2(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) = y1(x)y 0 2 (x) − y2(x)y 0 1 (x) ≡ 0. d½n5.4.2 å,y1(x), y2(x)¥(a, b)•ÿðè"åáºÍ,ekx0 ∈ (a, b)¶w(x0) 6= 0,Ky1(x)Üy2(x)Ç5Ã'. 5 ½n5.4.2_·Kÿò½§·. ~X y1(x) = ( x 2 , x > 0 −x 2 , x 6 0 Ü y2(x) = ( 2x 2 , x > 0 −3x 2 , x 6 0 Ç5Ã',w(x) ≡ 0. 3. ?ø¸áÿðè"åáºÍÇ5É'(Ç5Ã')øá^á ½n5.4.3 y1(x)⁄y2(x)—ÿðè", Ky1(x)Üy2(x)Ç5É'ø©7á^á¥:3ö"~Íc,¶y2(x) = cy1(x). y /⇒0 œèy1(x)Üy2(x)Ç5É',kÿ è"~Íc1, c2,¶ c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0, x0,¶y2(x0) 6= 0,u¥“7kc1 6= 0,ƒKd˛™åèákc2 = 0.”nc2 6= 0.u ¥-c = − c1 c2 (6= 0),“k y2(x) = cy1(x) /⇐0 ey2(x) = cy1(x) (c 6= 0),dcy1(x) − y2(x) = 0,åy1(x)Üy2(x)Ç5É '. 4. Ç5‡gêß?ø¸á)y1(x), y2(x)Ç5Ã'(Ç5É')øá^á ½n5.4.4 y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)),Ky1(x)⁄y2(x)Ç5Ã'ø©7á ^á¥ßÇw(x)3(a, b)•??ÿè0. y ø©5õ©²w.e°y²7á5. y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)Ç5Ã'),XJkx0 ∈ (a, b)¶ w(x0) = y1(x0) y2(x0) y 0 1 (x0) y 0 2 (x0) = 0,
则有不全为0的G1,c2使 c11(o)+2欢(ro)=0 c11(r0)+C26(ro)=0 由定理5.4.1可知， ()=c1h()+c2h() 是(5.42)的解，它满足 y(ro=y(x0)=0. 然，)=0也是(5.42)满足上述初始条件的解由初值解的存在唯一性定理知，必 有 y(e)=0. 即h()与()线性相关，与假设矛盾故如()处处不为0 四。二阶线性齐次方程的解结构 定理5.4.5方程(5.4.2)存在线性无关解h(c)和2（工）. 证由初值解的存在唯一性可知，给定0∈(a,),方程5.32)有满足初值条件h(c0 1,(ro)=0和2(o)=0,(ro)=1的解1()和().由于 故它们是线性无关的， 定理5.4.6设1()和2(c)是(5.4.2)的线性无关解，则(5.42)的通解为 y=cah(e)+c22(.(6.43) 证显然(5.4.3)都是(5.4.2)的解。 设(c)使(5.4.2)的解，取o有 圈o 则关于g,2
· 5 · Kkÿ è0c1, c2¶ ( c1y1(x0) + c2y2(x0) = 0 c1y 0 1 (x0) + c2y 0 2 (x0) = 0 d½n5.4.1å, y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ¥(5.4.2)),ߘv y(x0) = y 0 (x0) = 0. w,˜y(x) ≡ 0è¥(5.4.2)˜v˛„–©^á).d–ä)3çò5½n,7 k y(x) ≡ 0. =y1(x)Üy2(x)Ç5É',ÜbgÒ.w(x)??ÿè0. o. Ç5‡gêß)( ½n5.4.5 êß(5.4.2)3Ç5Ã')y1(x)⁄y2(x). y d–ä)3çò5å,â½x0 ∈ (a, b),êß(5.3.2)k˜v–ä^áy1(x0) = 1, y0 1 (x0) = 0⁄y2(x0) = 0, y0 2 (x0) = 1)y1(x)⁄y2(x).du w(x0) = 1 0 0 1 = 1 6= 0, ßÇ¥Ç5Ã'. ½n5.4.6 y1(x)⁄y2(x)¥(5.4.2)Ç5Ã'),K(5.4.2)œ)è y = c1y1(x) + c2y2(x). (5.4.3) y w,(5.4.3)—¥(5.4.2)). y(x)¶(5.4.2)), x0k y1(x0) y2(x0) y 0 1 (x0) y 0 2 (x0) 6= 0 K'uc1, c2