S1.3向量的数量积13 例1.3.1四面体OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC,证明：OC⊥AB. 证明记OA=a,OB=b,OC=c,则 BC=c-b,CA=a-c,AB=b-a. 由OA⊥BC知a~(c-b)=0,即ac=ab.同理，OB⊥AC蕴含了bc=b-a 因此a·c-b·c=0,即(a-b)·c=0,所以OC⊥AB. S1.3.2直角坐标系下数量积的计算 设[O;元，方，为一个直角坐标系，由于向量元，方，k为两两垂直的单位向量 所以 元.元=1，方j=1,k.k=1 ij=0,j:k=0,ki=0. 给定两个向量a=a1i+a2j+ask,b=b1i+b2j+bgk,则有 a.b=(ari+a2j+a3k).(bi+b2j+b3k) =ab(i.)+a1b2(i·j)+a1b3(i.k) +a2b1(j·i)+a2b2(d·j)+a2bg(i·k) +a3b(k·i)+agb2(k·j)+a3bg(k·k) =a1b1+a2b2+a3b3 所以有 (a1,a2,a3）·(b1,b2,bg）=a1b1+a2b2+a3bg (1.21) 就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 设向量a,b之间的夹角为0，则由数量积的定义知 c0s0=a:6 ajb1+a2b2+a3b3 (1.22) 1ab√a+a吃+aV++房 例1.3.2求一个单位向量，使它与向量a=-i+2j+k,b=i+3k都 垂直. 解设所求的单位向量为x=1i+2了+x3k,由条件知 xa=0,x·b=0,x=1. 用坐标表示，即得 -11+2x2+x3=0, TI +3x3=0, x+x号+x3=1
14第一章向量与复数 解得 (,2)=±(3,2-1 V4V144 所以 =±而31+2对- 例1.3.3证明Cauchy不等式 (a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a+a号+a)(b好+b号+b). 证明设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,bg,则有 a·b=a1b1+a2b2+agbs l1a2=a好+a号+a5,1b2=好+号+好. 由数量积的定义ab=|abcos0及|cos≤1，推知(a,b)2≤laPb2.把它写 成坐标的形式，即得Cauchy不等式. §1.4向量的向量积 §1.4.1向量积的定义与性质 设刚体以等角速度w绕定轴转动，O为转动轴上的一个定点，M为刚体上 的一个点，到转动轴的距离为R,记向量r=O(图1.8).由物理学知道，点M 处的速度向量v的方向与由定轴及点M决定的平面垂直，大小等于wR.为了 更好地描述这一特征，在转动轴上引一向量w,称为角速度向量，它的模=w, 它的方向与转动的方向构成右手系，即向量“，T,v满足右手法则.若记向量心 与r的夹角为0，则 v=wR=wlrlsin0 像这样由两个向量。，下决定第三个向量v的现象在物理学中十分常见.将其抽 象化，就得到了两个向量的向量积的概念. 定义1.4.1两个向量a,b的向量积a×b为一个向量，它的方向与a,b都 垂直，且使a,b,a×b构成右手系；它的模等于以a,b为边的平行四边形的面积， 即a×b=absin0,其中0为a,b间的夹角 向量的向量积运算具有以下性质
51.4向量的向量积15 图1.8向量的向量积 命题1.4.1设a,b,c为三个向量入为实数，则有 a×b=-b×a: (1.23) (Aa)×b=A(a×b)=a×(Ab): (1.24) (a+b)×c=a×c+b×c (1.25) 证明我们只证(1.25)，为此首先来看当c为一个单位向量时，向量积a×c 的几何作图法。 设a与c有共同的起点O,a与c的夹角为0.把向量a投影到与c垂直 的平面上得向量a1,再将a绕c顺时针旋转2得向量a2,使得a,c,a2组成 右手系（图1.9(a) 由于 a2l lal lal sin0=la x cl, 因此 a2=a×C. 现在设c为单位向量，将a平移使它与c有共同起点O,过a的终点引向 量b,按三角形法则得到向量a+b(图1.9(b).将向量a,b,a+b组成的三角 形投影到与c垂直的平面中，得到一个由向量a1,b1,a1+b1组成的三角形.再 将所得的三角形在这个平面上绕0点顺时针方向旋转于角度，得到一个由向量 a2,b2,a2+b2组成的三角形. 根据上述向量积的几何作图法，我们得到 a×c=a2,b×c=b2,(a+b)×c=a2+b2 所以(a+b)×c=a×c+b×c
16第一章向量与复数 6 图1.9 进而考察一般情形.因为c=cc,利用上式及(1.24)，得 (a+b)x (clc)=cl((a+b)x co) =lcl(a×c°+b×c) =a×(lcc)+b×(clc), 即 (a+b)×c=a×c+b×c. S1.4.2直角坐标系下向量积的计算 设[O:,了，]为一个直角坐标系.由于，方，k为两两垂直的单位向量且满 足右手法则，由向量积的定义知 i×元=0，j×j=0,k×k=0, i×j=k,j×k=i,k×i=j 给定两个向量 a=ai+a2j+ask,b=bi+b2j+b3k 则有 a×b=(a1i+a2j+a3k)×(b1i+b2j+bgk) =a1b1(位×i)+ab2(i×)+a1bg(t×k) +a2b(j×i)+a2b2(j×)+a2b3(j×k) +a3b1(k×i)+a3b2(k×)+a3bg(k×k】 =(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k. 为了便于记忆上式，我们引入2阶和3阶行列式的概念
s1.4向量的向量积17 把4个数排成两行两列，在两边加上两条竖线，就得到一个2阶行列式.它 代表一个数，其运算规则是 ay az=aiba-agbn. b1 62 类似地，9个数排成3行3列，就得到一个3阶行列式.它的运算规则是 a1 a2 a3 b1 b2 b3=a1 -a2 C2 C3 C1 C3 C1 C2 C1 C2 C3 =a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 关于行列式的详细介绍，请参看本书第四章. 利用行列式的语言，前面关于向量积的运算公式可以改写为 b2 b3 i j ke a1 a2 a3 (1.26) b1 62 b3 例1.4.1求垂直于向量a=(-1,2,1)和b=(1,0,3)的单位向量 解a×b就是一个垂直于a和b的向量，而且 元k 21. axb=-121=03 -11 103 =6i+4-2k, |1a×b=vV62+42+(-27=214. 因此所求的单位向量为 8治 而82，-1. 与例1.3.2相比，这里的解法更为简单. 例1.4.2设三角形的三个顶点为A(1,1,2),B(-2,0,3),C(2,4,5),求△ABC 的面积以及BC边上的高h