8第一章向量与复数 任意两个决定了一个平面，称为坐标面，分别记为Ox以，Oy2,Ozx. 给定仿射坐标系[O;e1,e,e3l,对空间中一点P,向量OP在基e1,e2,eg下 的坐标称为点P在仿射坐标系[O;e1,e2,e3】下的坐标.因此点P在[O;e1,e2,e 下的坐标为(r1,2,x3)当且仅当OP=1e1+x2e2+x3e3. 从上面的讨论可知，在引入仿射坐标系后，下列三者间存在一一对应的关系： 空间中的点P一向量O一坐标(c1,x2,3), 例1.2.1设e1,e2,e3为空间的一组基 (1)证明：a=e1+e2+e3,b=e1-e2+e3,c=e1+e2-e3也是空间的一 组基： (②)求向量d=a+2b-3c在基e1,e2,e3下的坐标. 解(1)为证明a,b,c为空间的一组基，只需证明a,b,c不共面.为此设实 数入，4，y满足Aa十4b+vc=0,即 A(e1+e2+e3)+u(e1-e2+e3)+v(e1+e2-es)=0. 化简得 (A+u+v)e1+(A-μ+w)e2+(A+μ-v)e3=0. 由于e1,e2,e3不共面，我们得到下面的方程组： 入+4+y=0, 入-+=0, (入+4-p=0. 不难解得入=4=v=0,因此a,b,c不共面. (2)由于 d=a+26-3c =(e1+e2+e3)+2(e1-e2+e3)-3e1+e2-e3) =-4e2+6e3, 所以向量d在基e1,e2,e3下的坐标为(0，-4,6). 一个仿射坐标系的三个坐标面将空间分成八个部分，称为八个卦限.其中每 个卦限内点的坐标的正负号规定为： (+,+,+),(-,+,+)Ⅲ(-，-，+)，V(+,-,+, V(+,+,-),M(-,+,-),I(-,-,-),Ⅲ(+，-，-)
51.2坐标系9 一组基e1,e2,e3在空间中的位置关系有两种情形，如图1.5.称图1.5(a)所 示的坐标系为右手仿射坐标系，图1.5（心）所示的为左手仿射坐标系. (a)右手系 b)左手系 图1.5仿射坐标系 S1.2.2向量的坐标运算 设在空间中取定了一个仿射坐标系[O:e1,e2,e3l,由于向量与其坐标之间存 在一一对应的关系，向量的运算可以转化为其坐标的运算. 设a=(x1,2,x3),b=(1,2,),入为一个实数，则 a+b=(a1e1+x2e2+c3e3)+(1e1+2e2+y3e3) =(r1+h1)e1+(a2+2)e2+(c3+3)e3; λa=X(x1e1+x2e2+x3e3)=入x1e1+入T2e2+λx3e3 所以我们有下面的坐标计算公式： (x1,2,x3)+(1,2,3）=(1+h,E2+2,E3+3: (1.10) A(E1,x2,c3)=(Ad1,入x2,Az3) (1.11) 例1.22设A(1,1,),B(2,2,2)为空间中两点，若点P将A店分割 成定比入，即A下=入PB,求分点P的坐标 解由AP=PB,知OP-OA=A(OB-OP).因此 0= 特别地，线段AB的中点的坐标为(1十2，h十2，十2 2 2,2
10第一章向量与复数 例1.2.3设A(c1,h,1),B(c2,2,2),C(x3,%,3)为△ABC的三个顶点 求△ABC的重心G的坐标， 解设重心G的坐标为（红，），BC边的中点为D,则D点的坐标为 2十32+超2十3】 2 2 2 由例1.13知，AG=2GD,利用定比分点公式得 21+22+ t- 1+2 3 同理 y=功+欢+的，名=+2+ 3 3 所以重心G的坐标为 3 3 S1.2.3直角坐标系 空间直角坐标系为一个特殊的仿射坐标系，它要求三个坐标向量为两两垂 直的单位向量.一般用元，了，k表示这三个坐标向量，相应的坐标轴为x轴，y轴 和z轴. 关于仿射坐标系的所有概念与结论都适用于直角坐标系，而直角坐标系的 特殊性使得利用向量的坐标来计算模、夹角等变得更加容易. 设[O:i,j,内]为一个空间直角坐标系，若向量a=a1i+a21+agk,则 lal=√a+a喝+a喝 (1.12) 设向量a=(a1,2,ag)与坐标向量i,j和k的夹角分别为a,B,则 cosa,cos,cosy称为向量a的方向余弦 从图1.6不难看出 (cosa,cos B,cos ) va+喝+gV匠+喝+gV+时+a1.18 a1 02 从而 cos2 a cos2 B+cos2=1
S1.3向量的数量积1 图1.6方向余弦 例1.2.4已知P(1,2,3),Q(2,4,-1)两点，求向量P0的方向余弦 解由于 P0=(1,2,-4), P0=√12+22+(-4严=2 所双网的方向余装为（后高） §1.3向量的数量积 §s1.3.1数量积的定义与性质 设一物体位于光滑水平面上，力F作用于该物体上.设F与水平面的夹角 为日，物体产生的位移是8，则力F所做的功为 W=|Flls|cos0 功是由力F和位移s两个向量所唯一决定的一个数量.除去其中的物理含义 我们就得到了两个向量的数量积的概念。 定义1.3.1两个向量a与b的数量积为一个实数，它等于两个向量的模 与两向量夹角的余弦的乘积，记为a,b.如果向量a,b的夹角为8，则 a.b lallbl cos0. (1.14) 数量积也常称为内积 利用这个定义，力所做的功为W=F·8
12第一章向量与复数 由数量积的定义知，α·b=0当且仅当两个向量是正交的（包含其中一个向 量为零向量的情形) 数量积的运算具有如下的性质， 命题1.3.1对向量a,b,c及实数入，我们有 a.b=b·a; (1.15) (a+b),c=a·c+b·c (1.16) (Aa)b=A(a·b)=a·(Ab) (1.17) a2=a·a≥0，等号成立当且仅当a=0. (1.18) 证明我们只证(1.16)，其余等式可利用数量积的定义直接验证. 不妨设c≠0.如图1.7，作向量OA=a,AB=b,0C=c,则有OB OA+A店=a+b.过点A,B作直线OC的垂线，垂足分别为A心，B.则存在实 数x,使得OA=xc,AB=C,OB=(x+)C 图1.7 由数量积的定义可知 a·c=xlc2,b.c=yc2,(a+b)·c=(x+)lc2 所以(a+b)·c=a·c+b·c 利用数量积的性质可以得到下面的等式 (a±b)2=a2±2a·b+b2 (1.19) 由于 (a +b)2 a2 +b2+2a.b=la2+62+2allbl cos<(la +b)2 因此有向量模的三角不等式 la+lbl≥la+b (1.20) 从(1.19)式还可以得到余弦定理的一个简单证明，读者不妨一试. 下面我们通过一个例子来看向量的数量积在求解几何问题中的应用