$1.1向量的线性运算3 数乘.由数乘的定义可知0a=0,并且对任意实数入，4，都有 la=a; (1.5) A(μa)=()a: (1.6) (+r)a=λa+ua (1.7) A(a+b)=Aa+b. (1.8) 对于非零向量a,用a°表示与a同向的单位向量，则由向量数乘的定义知 a=al 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.线性运算并非向量所特有， 事实上，在很多非空集合中都可以定义所谓的加法与数乘运算，并且满足相应于 (11)一(1.8)的8条性质.我们将这样的集合（附带加法与数乘运算）称为线性 空间或向量空间，线性空间中的元素称为（抽象的）向量.具体内容详见本书第 五章 §1.1.3向量的共线与共面 一组向量称为是共线的，如果它们都平行于某条直线。一组向量称为是共面 的，如果它们都平行于某个平面. 命题1.1.1向量a,b共线的充分必要条件是存在不全为零的实数入，4，使 λa+ub=0. 证明必要性：设向量a,b共线，不妨设a不是零向量.若向量b与向 aa,因此山。 量a同向，则b= a+(-1b=0.若向量b与向量a反向，则 6-合a因北+16=0 a 充分性：设入，4为不全为零的实数且a+b=0.不妨设：≠0，则 b=-入a,因此a,b共线. 命题1.1.2向量a,b,c共面的充分必要条件是存在不全为零的实数入，4，山， 使得 λa+b+vc=0. 证明必要性：若a,b,c中有两个向量共线，例如a,b共线，则存在不全为 零的实数入，4，使得a+b=0.从而λa+b+0·c=0,其中入，山，0不全为零
4第一章向量与复数 设a,b.c中任意两个向量都不共线.取定一点O,作OA=a,OB=b,OC c.过C点作OB的平行线交直线OA于点D(图1.2)，则存在实数入，4，使得 OC=OD+DC=OA+uOB.移项后得a+b+(-1)c=0,其中入，4，-1 不全为零 图12三向量共面条件 充分性：设存在不全为零的实数入，山，山，使得入a+ub+vc=0.不妨设v≠0， 于是c=一a一光b.因此c是以-产0，-b为边的平行四边形的对角线，从而 a,b,c共面. 定义1.1.1设a1,a2,·,am为一组向量，入1，入2，·，入n为一组实数.称 向量 a=入1a1+λ2a2+.+入amn 为向量a1,a2,·,an的线性组合 利用这个定义，命题1.1.1和命题11.2也有如下的表述方式：两个向量共线 当且仅当某一个向量为另一个向量的线性组合（倍数）：三个向量共面当且仅当 某一个向量为另外两个向量的线性组合 定义1.1.2一组向量a1,a2,.,an称为线性相关，如果存在不全为零的 实数1,2，.，入n,使得 X1a1+入2a2+·+入nam=0. 反之，不是线性相关的一组向量称为线性无关.也就是说，如果上式成立，则入1= 入2=.=入m=0. 利用命题1.1.1，命题1.1.2可以得到 ·一个向量a线性相关当且仅当a=0: ·两个向量线性相关当且仅当它们共线： ·三个向量线性相关当且仅当它们共面 类似可以得到向量线性无关的等价条件.线性相关与线性无关是线性代数 中最基本的概念之一，在本书第五章中我们会作进一步的讨论
511向量的线性运算5 例1.1.1对任意向量a,b,c,证明：向量a+b+c,a-b-c,a+2b+2c 线性相关 证明我们只要证明，存在不全为零的实数入，山，山，使得 A(a+b+c)+u(a-b-c)+v(a+2b+2c)=0. 化简上式得 (A+4+)a+(A-4+2w)b+(入-μ+2w)c=0, 所以只要证明方程组 入+4+y=0, A-4+2w=0 有不全为零的解即可.易见入=-3，以=1，v=2为一组非零解，因此三个向量线 性相关 ◇ 例1.1.2证明：空间中任意三点A,B,C共线的充分必要条件是，存在不 全为零的实数1,2，k,使得对任意点O,都有 K10A+k2OB+k3OC=01+k2+k3=0. 证明必要性：设A,B,C三点共线，则向量AB与向量AC共线.因此存 在不全为零的实数入，山，使得入AB+μAC=0,即 A(OB-OA)+(OC-OA)=0. 化简得(-入-)OA+OB+uOC=0.取1=-入-4,2=入，3=山，则 k1OA+2OB+30C=0且k+2+=0. 充分性：设存在不全为零的1,2,3满足条件，不妨设1≠0.则3= -k1-2,且1OA+k2OB+(-k1-2)OC=0.所以 k1(OA-OC)+k2(OB-OC)=0. 即k1CA+2CB=0.由于k1,2不全为零，向量CA与CB共线，即A,B,C 三点共线 利用向量运算可以解决许多几何问题，其思想是将几何性质转化为向量的 代数运算
6第一章向量与复数 例1.1.3△ABC中，D,E分别是边BC,AC的中点，AD,BE相交于点G (图13).证明：AG=2AD 图1.3 证明设AG=rAD,由于D为BC的中点，AD=)(A店+AC,所以 AG=(AB+AC) 由于B,G,E共线，根据例1.1.2，可设AG=yAB+(1-)AE.由于E为AC 的中点，所以 AC=AB+1a 2 因此 (后-)丽+（后-2）c=0 由于AB,AC不共线，由命题1.1.1得 -9=0, 1一型=0 2 解得红=子因此G=号而， S1.2坐标系 51.2.1仿射坐标系 在中学我们学习了直角坐标系.在直角坐标系中，三个坐标轴两两垂直.本 节我们将坐标系推广到坐标轴不相互垂直的情形.我们先陈述向量的基本定理。 定理1.2.1设e1,e2,e3为空间中三个不共面的向量，则对每个向量a,都 存在唯一的三元有序实数组(1，x2,x3,使得 a tie1+T2e2 t3e3. (1.9)
S1.2坐标系7 证明在空间中任取一点O,作向量OA=e1,OB=e2,OC=e3,OP=a (图1.4). 图1.4向量基本定理 过P点作直线OC的平行线，交平面AOB于点Q,再过点Q作直线 OB的平行线，交直线OA于点R,则a=O丽=O+G+Q驴.由于 O/0A,R0/0B,QP/0C,利用命题1.1.1知，存在实数x1,2,使得 OR=tie1,RQ=rae2,Qp=xses. 因此a=E1e1+x2e2+x3e3. 下面证明唯一性.如果向量α有两种表示方式： a x1ei+x2e2+x3e3 ye1+y2e2 y3e3, 则有 (1-h)e1+(r2-2)e2+(r3-s)e3=0. 由于向量e1,e2,e3不共面，由命题1.1.2知1=h,2=次，3=，因此表示 方式是唯一的. 定义1.2.1空间中任意三个有序的不共面的向量e1,e2,e3称为空间的一 组基.对于向量a,若 则称(c1,x2,x3)为向量a在基e1,e2,eg下的仿射坐标或简称坐标 定义1.2.2空间中任意一点0和一组基e1,e2,e3合在一起称为空间的一 个仿射坐标系，记为[O;e1,e2,e3.点0称为坐标原点，e1,e2,e3称为坐标向量 e1,e2,e3所在直线分别称为x轴，y轴和z轴，统称为坐标轴.三个坐标轴中的