注1区间套定理也可以为 定理若{[an,bn}为一个区间套，则存在唯一的实数ξ， 使5∈∩la,b.l 注2区间套定理要求区间列中的每个区间为闭区间，对 开区列 {(an,bn)}即使 (1) (a)(a,b),n=1,2,.. (2) lim(b -a)=0
注1 区间套定理也可以为 定理 若 {[ , ]} n n a b 为一个区间套,则存在唯一的实数, 使 1 [ , ]. n n n a b 注2 区间套定理要求区间列中的每个区间为闭区间,对 开区列 {( , )} n n a b 即使 (1) 1 1 ( , ) ( , ), 1,2, n n n n a b a b n (2) lim( ) 0 n n n b a
区间套定理的结论不成立， 例对开区间列{0，}条件1与(2)满足，但 0,2=p n=1 但有定理若{(an,bn)}满足(1)与(2)，且有 (3)an<at,b<bn=1,2,... 则存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间，即 5∈(an,bn),n=1,2,…
区间套定理的结论不成立. 例 对开区间列 1 {(0, )} n 条件(1)与(2)满足,但 1 1 (0, ) n n 但有定理 若 {( , )} n n a b 满足(1)与(2),且有 (3) 1 1 , , 1,2, n n n n a a b b n 则存在唯一的实数 属于所有的闭区间，即 ( , ), 1,2, n n a b n
用区间套定理证明柯西收敛准则 数列{an}收敛的充分必要条件是：对任意ε>0，存在正整 数N,对一切m,n>N,有 an-amK<8
用区间套定理证明柯西收敛准则 | | . n m a a 数列 { }n a 收敛的充分必要条件是:对任意>0,存在正整 数N,对一切 m,n>N ,有
二、聚点定理 定义设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S也，可以 不属于S)若ξ的任何邻域内都含有S的无穷多个点，则称ξ为 S的聚点. 聚点的等价定义： 飞为点集$的聚点的充要条件是，是对点飞的任何邻域 U(5,δ)都含有S中异于的点，即 U(5,)∩(S-{5})≠p
二、聚点定理 定义设S为数轴上的点集, 为定点(它可以属于S也,可以 聚点的等价定义: 为点集S的聚点的充要条件是, 是对点的任何邻域 不属于S)若的任何邻域内都含有S的无穷多个点,则称为 S的聚点. U S ( , ) ( { }) . U( , ) 都含有S中异于的点,即