第四节平面曲线的弧长 四一、平面曲线弧长的概念 巴二、直角坐标情形 巴三、参数方程情形 巴四、极坐标情形 巴五、小结思考题
生一、平面曲线弧长的概念 设A、B是曲线弧上的两y 个端点,在弧上插入分点 M B=M 4=MM,…·M i MM=B A=M n一 n 工工工 并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时, c此折线的长∑|M1M1极限存在,则称此极限为 i=1 曲线弧AB的弧长 上页
o x y A = M0 M1 B = Mn M2 设 Mn−1 A、B是曲线弧上的两 个端点，在弧上插入分点 M M B A M M M n n i = = − , , , , , 1 0 1 并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 此折线的长 | | 1 1 = − n i Mi Mi 的极限存在，则称此极限为 曲线弧AB的弧长. 一、平面曲线弧长的概念
二、直角坐标情形 设曲线弧为y=f(x)y (a≤x≤b),其中f(x) 在[a,b上有一阶连续导数 取积分变量为,在q,b idy 上在取小区间x+, 以对应小切线段的长代替小弧段的长 小切线段的长√(d)2+(dy)2=1+y2t 弧长元素‘=1+y2弧长s=1+y 上页
设曲线弧为y = f (x) (a x b)，其中 f (x) 在[a,b]上有一阶连续导数 o x y a x x + dx b 取积分变量为x ，在[a,b] 上任取小区间[x, x + dx]， 以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy 小切线段的长 2 2 (dx) + (dy) y dx 2 = 1+ 弧长元素 ds y dx 2 = 1+ 弧长 1 . 2 s y dx b a = + 二、直角坐标情形
士 2 例1计算曲线y=x2上相应从到b的一段 3 弧的长度 解∵y'=x2, d=1+(x3)2x=1+xkx, 所求弧长为 s=+x=21(+b)2-(+a 3 上页
例 1 计算曲线 2 3 3 2 y = x 上相应于x 从a 到b 的一段 弧的长度. 解 , 2 1 y = x ds x dx 2 1 ( ) 2 1 = + = 1+ xdx, 所求弧长为 s xdx b a = 1+ [(1 ) (1 ) ]. 3 2 2 3 2 3 = + b − + a a b
例2计算曲线y=[" nsin ed e的弧长(0≤x≤mm) x 1 解y =n、SIn SIn n n s=「√1+y2 nC 1+sin-dx 0 n x=nt rt √1+sint.ndt 0 2 sin-+ cos=+2 sin-cos-dt 0 22 n sin -+cos-ldt =4n 0 2 上页
例 2 计算曲线y n d n x = 0 sin 的弧长(0 x n). 解 n n x y n 1 = sin sin , n x = s y dx b a = + 2 1 dx n n x = + 0 1 sin x = nt + t ndt 0 1 sin dt t t t t n + + = 0 2 2 2 cos 2 2sin 2 cos 2 sin dt t t n = + 0 2 cos 2 sin = 4n