第五节定积分的分部积分法 四一、分部积分公式 二、小结思考题
庄一、分部积分公式 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b上具有连续 b 导数,则有dh=[]-Jwa. 定积分的分部积分公式 推导(a)=m+mn,∫(m)=[, LuvI =5u'vdx +uv'dr ∴」h=l-」wm 上页
设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b uv a u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式
例1计算 arcsin xd 0 解令u= arcsinx,鄱=dx, 则m= v= VI-x C arcsinxdx=[xarcsinxJo xdx 1兀1 ,d(1-x2) 2620、1-x √3 12 12 上页
例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 则
例2计算 1+cos 2x 解1+cos2x=2cos2x, xdx d(tanx 0 1+cos 2x Jo 2cos'x Jo 2 Lxtanxo-2Jo tan xdx 2 πIn2 ==-LInsec x]o8 4 82 上页
例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − =
例3计第2十xy 解 1 In(l+x 0(2+x)2 dx=-f In(1+x)d 2+x In(l+x) dIn(1+x) L2+x1002+x 加2 十 dx 3 2+x1+x 1+x2+x In 2 +n(1+x)-m(2+x)b=5lm2-ln3. 3 3
例3 计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −