第二节定积分的性质 中值定理 基本内容 四二、小结思考题
、基本内容 对定积分的补充规定: b (1)当a=b时,Jf(x)d=0; (2)当a>b时,f(x)dx=-f(x)d 工工工 说明在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小 上页
对定积分的补充规定: （1）当a = b时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当a b时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx. 说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小． 一、基本内容
性质11f(x)±g(x)x=f(x)d士g(x)dk 证1f(x)±g(x) =im∑f(5)±g()△r n n =lim∑f()x±lim∑g(5)Ax i=1 =m/(x)g(x) (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 王页下
证 b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx b a [ f (x) g(x)]dx= b a f (x)dx b a g(x)dx . （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1
上性质24y(x)tx=k(x)dk为常数) 证,0f(x)k=im∑(5)△x =limk∑f(Ax1=klm∑f(5)Ax1 i=1 i=1 b =k f(x)dx 上页
= b a b a kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数). 证 b a kf (x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质2
性质3假设a<c<b /(x)k=/(x)d+/(x 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<C, 中/(x)dk=.(x)+(xt 则门f(x)d=(x)dx-/(x)d =f(edx+f(xdx (定积分对于积分区间具有可加性) 上页
b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx. 补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx b a f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 假设a c b