第八节广义积分的审敛法 I一函数 无穷限的广义积分的审敛法 无界函数的广义积分的审敛法 r-函数 巴四、小结
生一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法 定理1设函数f(x)在区间a,+)上连续, 且f(x)≥0.若函数F(x)=f( 在a+0)上有界,则广义积分(x)k收敛 由定理1,对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 上页
一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续， + + = + a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
定理2(比较审敛原理设函数f(x)、g(x)在 区间a,+∞)上连续,如果0≤f(x)sg(x)(a≤ 生x<+4,并且(收敏,则 f(r)de 也收敛;如果0≤g(x)≤f(x)(asx<+∞)并 o 且g(x)h发散,则「f(x)也发散. 工工工 证设a<b<+∞,由0≤f(x)≤g(x)及(x) 收敛,得∫/(x)sg(xs,x)k 即P(b)=f(x)在a,+∞)上有上界 上页
且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在 + + + + + + + a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) + + + a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ，由 及 即 F(b) = f (x)dx 在[a,+) 上有上界． b a
由定理1知f(x)x收敛 如果058(x)≤f(x,且,g(x)发散, 则∫/(x)必定发散 :如果7(k收敛,由第一部分知 g(xk也收,这与假设矛盾 例如,广义积分 + (>0 「当P>1时收敛 a 当P≤1时发散 上页
由定理１知 收敛． + a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如果 且 发散 + + a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如果 收敛，由第一部分知 + + a a g x dx f x dx ( ) ( ) 例如， + 当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p
定理3(比较审敛法1)设函数f(x)在区间 a,+∞)(a>0)上连续,且f(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得f(x)≤ M 王(asx<+则厂(x)h收敛;如果存在 N 常数N>0,使得∫(x)≥ (a≤x<+o) 则f(x)发散 上页
则 发散． 常 数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如 果 定 理 比较审敛法１ 设函数 在区间 + + + + + a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )