第七节广义积分 巴一、无穷限的广义积分 巴二、无界函数的广义积分 巴三、小结思考题
、无穷限的广义积分 定义1设函数∫(x)在区间a,+∞)上连续,取 b>a,如果极限imf(x)d存在,则称此极 b→+0Ja 牛限为函数/()在无穷区间+3)上的广义积 + 分,记作∫(x)d + b f(x)dx= lim f(x)dx b→+0a 牛当极限存在时,称广义积分收敛当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
定 义 1 设函数 f (x) 在区间[a,+)上连续，取 b a，如果极限 →+ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间[a,+) 上的广义积 分，记作 + a f (x)dx. + a f (x)dx →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 一、无穷限的广义积分
c类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b1上连续,取 a<b,如果极限lmf(x)存在,则称此极 限为函数∫(x)在无穷区间(∞,b上的广义积 牛分,记作∫/x 工工工 r f()dx=lim rf(x)do c当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 上页
类似地，设函数 f (x) 在区间(−,b]上连续，取 a b，如果极限 →− b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x) 在无穷区间(−,b] 上的广义积 分，记作− b f (x)dx. − b f (x)dx →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散
设函数f(x)在区间(-∞,+0)上连续,如果 广义积分。f(x)d和f(x)dk都收敛,则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 王(-0+0)上的广义积分,记作∫。(x 工工工 ∫f(x)t=。f(x)dx+nf(x)d lim f(x)dx+ lim f(x)dx 王极限存在称广义积分收敛:否则称产义积分发散
设函数 f (x) 在区间(−,+) 上连续,如 果 广义积分− 0 f (x)dx 和 + 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+)上的广义积分，记作 + − f (x)dx . + − f (x)dx − = 0 f (x)dx + + 0 f (x)dx →− = 0 lim ( ) a a f x dx →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散
例1计算广义积分 -o1+x +00 dx o dx +oO d x 解 2 1+x 1+x 2 0 01 b im x+ lim.2dx a→-ah1+x →+Q lim arctan lim larctanx 少+0 T =-lim arctan+ lim arctan=1-6+6=T a→-0 b→+0 2 王页下
例1 计算广义积分 . 1 2 + − + x dx 解 + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx + + + 0 2 1 x dx + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim 0 lim arctan a a x →− = b b arctan x 0 lim →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2 = + = − −