第七节平面及其方程 巴一、平面的点法式方程 平面的一般方程 巴三、两平面的夹角 四四、小结思考题
生一、平面的点法式方程 n 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 M 该平面的法线向量 午法线向量的特征:垂直于平面内的任一向量 已知n={A,B,C},M0(x,y,z), 王设平面上的任一点为M(,y,a 牛必有MM⊥n→MMn=0 上页
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 一、平面的点法式方程 n
M0M={x-x0,y-y0,x-x0} A(x-xo)+B(y-y)+C(3-0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={4,BC},已知点(x,y,z 平面上的点都满足上方程,不在平面上的 牛点都不满足上方程,上方程称为平面的方程, c平面称为方程的图形 上页
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形． 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
庄例1求过三点4(2,14)、B(13-2和 C(0,2,3)的平面方程 解AB={-3,4,6} AC={2,3,-1} 取n=AB×AC={14,9,-1}, 所求平面方程为14(x-2)+9(+1)-(z-4)=0, 化简得14x+9y-x-15=0. 上页
例 1 求过三点A(2,−1,4)、B(−1,3,−2)和 C(0,2,3)的平面方程. 解 AB = {−3, 4,−6} AC = {−2, 3,−1} 取 n = AB AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14(x − 2) + 9( y + 1) − (z − 4) = 0, 化简得 14x + 9y − z − 15 = 0
例2求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和 3x+2y-12z+5=0的平面方程 解 {1,-1,1,应2={3,2,-12} 取法向量n=n1×2={10,15,5}, 所求平面方程为 10(x-1)+15(y-1)+5(z-1)=0, 化简得2x+3y+z-6=0. 上页
例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x − y + z = 7和 3x + 2 y −12z + 5 = 0的平面方程. {1, 1,1}, n1 = − {3,2, 12} n2 = − 取法向量 n n1 n2 = = {10,15,5}, 10(x − 1) + 15( y − 1) + 5(z − 1) = 0, 化简得 2x + 3y + z − 6 = 0. 所求平面方程为 解