第三节微积分基本公式 巴一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 四、小结思考题
生一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时 c间间隔T,T2H的一个连续函数,且v(2≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程 变速直线运动中路程为∫v()l 另一方面这段路程可表示为(2)-(7) 0=)-x),其中xo=o 上页
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,并且设x 为4,b上的一点,考察定积分 f(x)dx=,f(t)dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对于 每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以 它在ab止上定义了一个函数 记@(x)=∫()d.积分上限函数 上页
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 庄定理1如果f(x)在b上连续,则积分上限的函 数①(x)=(M在b上具有导数,且它的导 数是(x)=2f(Mt=f(x)(a≤x≤b) dx a 工工工 证(x+△x)=。f(Mt △Φ=Φ(x+△x)-(x) qp(x) x+△v ∫(t)lt-f(t Oxx+△xbx 上页
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
生=/oM+(om-om x+△v f(t)dt x 由积分中值定理得 Φ(x) △①=f()Axξ∈|x,x+△x Oa5x+△xb △Φ △Φ =f(2),im =lim∫() △y △x→>0△x△x>0 王△x→0.→x:a(x)=x) 上页
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x