第三节体积 一、旋转体的体积 巴二、平行截面面积为己知的 立体的体积 小结思考题
庄一旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做 旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 上页
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积
般地,如果旋转体是由连续曲线y=f(x)、 直线x=、x=b及轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体,体积为多少? 取积分变量为r, y=f(x) x∈[,b 斗在ab上任取小区0aab 间[x,x+xl, 取以x为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素,d=叫f(x)2te 王旋转体的体积为=」叫() 上页
一般地，如果旋转体是由连续曲线y = f (x)、 直线x = a、x = b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ 取积分变量为x ， x[a,b] 在[a,b]上任取小区 间[x, x + dx]， 取以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV f x dx 2 = [ ( )] x x + dx x y o 旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )] = y = f (x)
例1连接坐标原点O及点P(,r)的直线、直线 x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋 转构成一个底半径为、高为的圆锥体,计算 圆锥体的体积 午解直线OP方程为 0 y=x 上取积分变量为,x∈0,n 在[0,上任取小区间x,x+dx], 上页
y 例 1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线 x = h及x轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋 转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算 圆锥体的体积． 解 r h P x h r y = 取积分变量为x ， x[0,h] 在[0,h]上任取小区间[x, x + dx]， x o 直线 OP 方程为
以d为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的 体积为 dv=xl=xdx 圆锥体的体积 2 h h Trx V= T-x dx s h h h23 3 0 上页
以dx为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄片的 体积为 x dx h r dV 2 = 圆锥体的体积x dx h r V h 2 0 = h x h r 0 3 2 2 3 = . 3 2 hr = y r h P x o