第四节定积分的换元法 、换元公式 小结思考题
、换元公式 定理假设 (1)f(x)在4,b上连续 上(2)函数x=q()在a,上是单值的且有连续 导数; 工工工 (3)当在区间a,上变化时,x=q(t)的值 姓a,b上变化,且p)=a、(月)=b, 则有f(x)kx=0n(O)( 上页
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式
证设F(x)是f(x)的一个原函数, f()x= F(b-F(a), ①(t)=F|(), Φ()=" tt=(xm’(t)= ∫|p(t)p'(t), Φ()是∫|q(t)(t)的一个原函数 ∫|p(t)p(t)dt=Φ(β)-Φ(o) c 上页
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
qp(a)=a、q(6)=b, 4(B)-q(a)=Flo(B)l-flo(a) =F(b)-F(a), b f(x)k=F(b)-F(a)=()-(a) ∫|q(t)lp(t)ln 注意当a>B时,换元公式仍成立 上页
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意 (1)用x=9()把变量x换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出∫|q(t)lp(t)的一个原函数Φ(t)后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量κ的函数,而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ()然后相减就行了 上页
应用换元公式时应注意: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变