本次课主要内容 拉姆齐问题简介 (一) 独立集与覆盖 (二)、 边独立集与边覆盖 (三)、点临界图与边临界图 (四)、拉姆齐数r(m,n)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (二)、边独立集与边覆盖 拉姆齐问题简介 (一)、 独立集与覆盖 (四)、拉姆齐数r (m, n) (三)、点临界图与边临界图
(一)、独立集与覆盖 1、概念 定义1设G=(V,E)是一个图。V的一个非空顶点子集V 称为G的一个点独立集，如果V,中的顶点互不邻接； G的一个包含顶点数最多的独立集称为G的最大独立集。 最大独立集包含的顶点数，称为G的点独立数，记为α(G) G的一个独立集 G的一个最大独立集
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3 1、概念 定义1 设G=(V ,E)是一个图。V的一个非空顶点子集V1 称为G的一个点独立集,如果V1中的顶点互不邻接； (一)、独立集与覆盖 G的一个包含顶点数最多的独立集称为G的最大独立集。 最大独立集包含的顶点数，称为G的点独立数，记为α(G)。 v v2 1 v6 v5 v4 v3 v7 v8 G的一个独立集 v v2 1 v6 v5 v4 v3 v7 v8 G的一个最大独立集
定义2设G=V,E)是一个图。V的一个非空顶点子集K称为 G的一个点覆盖，如果E中的每条边至少有一个端点在K中。 G的一个包含顶点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖。 最小点覆盖包含的顶点数，称为G的点覆盖数，记为B(G)。 G的一个点覆盖 G的一个最小点覆盖
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4 定义2 设G=(V ,E)是一个图。V的一个非空顶点子集K称为 G的一个点覆盖,如果E中的每条边至少有一个端点在K中。 G的一个包含顶点数最少的点覆盖称为G的最小点覆盖。 最小点覆盖包含的顶点数，称为G的点覆盖数，记为β(G)。 v v2 1 v6 v5 v4 v3 v7 v8 G的一个最小点覆盖 v2 v6 v5 v4 v3 v7 v8 G的一个点覆盖 v1
2、加莱恒等式 定理1（加莱）对任意不含孤立点的n阶图G,有： a(G)+(G)=n 证明：一方面，设V,是G的最大点独立集。因为G中 每条边的端点最多一个在V中，所以G中每条边的端点 至少有一个在V-V中。即V-V构成G的一个点覆盖，于 是有： B(G)V-V =n-a(G) 另一方面，设K是G的最小点覆盖。因为G中每条边的 端点至少有一个在K中，所以G中每条边的端点至多有 个在V-K中。即V-K构成G的一个点独立集，于是有：
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5 定理1 (加莱) 对任意不含孤立点的n阶图G，有： 2、加莱恒等式 α(G)+ β(G)= n 证明：一方面，设V1是G的最大点独立集。因为G中 每条边的端点最多一个在V1中，所以G中每条边的端点 至少有一个在V-V1中。即V-V1构成G的一个点覆盖，于 是有： β(G)≦｜V-V1｜=n - α(G) 另一方面，设K是G的最小点覆盖。因为G中每条边的 端点至少有一个在K中，所以G中每条边的端点至多有一 个在V-K中。即V-K构成G的一个点独立集，于是有：
a(G≥1V-K|=n-(G) 由上面两个不等式，得到： α(G+(G)=n (二)、边独立集与边覆盖 1、概念 定义3设G=(V,E)是一个图。E的一个边子集E,称为G 的一个边独立集，如果E,中的边互不邻接； G的一个包含边数最多的边独立集称为G的最大边独立 集。最大边独立集包含的边数，称为G的边独立数，记为 m'(G
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6 α(G) ≥｜V-K｜=n - β(G) 由上面两个不等式，得到： α(G)+ β(G)= n (二)、边独立集与边覆盖 1、概念 定义3 设G=(V ,E)是一个图。E的一个边子集E1称为G 的一个边独立集,如果E1中的边互不邻接； G的一个包含边数最多的边独立集称为G的最大边独立 集。最大边独立集包含的边数，称为G的边独立数，记为 α‵(G)