泛函分析 度量空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 September 7,2021 1/54
泛 函 分 析 度量空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 September 7, 2021 1 / 54
度量空间 1.1度量空间的定义 1.2完备性 度量空间中的开集和闭集 纲与Baire纲定理 度量空间的重要性质 Arzela-Ascoli定理 Banach压缩映象原理 6.1 Banach压缩映像原理的应用 常微分方程的初值问题解的正则性：Picard定理 在积分方程中的应用 Newton迭代法的收敛性 泛函分析 September 7,2021 2/54
度量空间 1.1 度量空间的定义 1.2 完备性 度量空间中的开集和闭集 纲与 Baire 纲定理 度量空间的重要性质 Arzela-Ascoli 定理 Banach 压缩映象原理 6.1 Banach 压缩映像原理的应用 常微分方程的初值问题解的正则性：Picard 定理 在积分方程中的应用 Newton 迭代法的收敛性 泛函分析 September 7, 2021 2 / 54
定义 设X是一个非空集合.若映射d:X×X→[0，+o∞)满足下面三条性质： (①)（非负性与唯一性）d(a,)≥0，d(x,)=0÷x=5 (i)(对称性)d(x,=d(y,: i)(三角不等式)d(x,)≤d(x,)+d(a,: 则称d(,)为X上的距离函数或度量函数，(X,d)为度量空间或距离空 间. 在不引起混淆的情况下，有时简记(X,)为X.X中的元素称为点. 结合()、()很容易得到下面的不等式： d(x,)-d(y,≤d(x,. (1) 设YsX,定义Y上的度量dy(,)为 dy(x,)=d(x,,Hx,y∈Y, 则(Y,dy)是一个度量空间， 泛函份析 September 7,2021 3/54
定义 设 X 是一个非空集合. 若映射 d : X × X → [0, +∞) 满足下面三条性质: (i) (非负性与唯一性) d(x, y) ⩾ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (ii) (对称性) d(x, y) = d(y, x); (iii) (三⻆不等式) d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y). 则称 d(·, ·) 为 X 上的距离函数或度量函数, (X, d) 为度量空间或距离空 间. 在不引起混淆的情况下, 有时简记 (X, d) 为 X. X 中的元素称为点. 结合 (ii)、(iii) 很容易得到下面的不等式: |d(x, y) − d(y, z)| ⩽ d(x, z). (1) 设 Y ⊆ X, 定义 Y 上的度量 dY(·, ·) 为 dY(x, y) = d(x, y), ∀ x, y ∈ Y, 则 (Y, dY) 是一个度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 3 / 54
例 设Q为全体有理数组成的集合.定义Q上度量 d(,):Q×Q+[0,+o∞)如下 d(x,=x-,廿x,y∈Q, 则(Q,d)是一个度量空间. 例 设d(,):R×R→[0，+o∞)为 d(x,=x-,x,y∈R 则d(,)是R上的度量，(R,d)是一个度量空间. 泛函分析 September 7,2021 4/54
例 设 Q 为全体有理数组成的集合. 定义 Q 上度量 d(·, ·) : Q × Q → [0, +∞) 如下: d(x, y) = |x − y|, ∀ x, y ∈ Q, 则 (Q, d) 是一个度量空间. 例 设 d(·, ·) : R × R → [0, +∞) 为 d(x, y) = |x − y|, ∀ x, y ∈ R, 则 d(·, ·) 是 R 上的度量, (R, d) 是一个度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 4 / 54
例 设n∈N,定义d:Rm×Rm→[0，+o)上的函数d(,)为： d(x)= 巧职其中=a人g=….四 则d(,)是Rn上的度量，(Rm,d)为度量空间. 泛函份析 September 7,2021 5/54
例 设 n ∈ N, 定义 d : R n × R n → [0, +∞) 上的函数 d(·, ·) 为: d(x, y) = vuut ∑n j=1 (xj − yj) 2, 其中x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn), (2) 则 d(·, ·) 是 R n 上的度量, (R n , d) 为度量空间. 泛函分析 September 7, 2021 5 / 54