G的一个边独立集 G的一个最大边独立集 注：单图的一个边独立集实际上就是图的个匹配， 一个最大边独立集就是其一个最大匹配。 定义4设G=V,E)是一个图。E的一个边子集L称为G的 一个边覆盖，如果G中的每个顶点均是L中某条边的端点。 G的一个包含边数最少的边覆盖称为G的最小边覆盖。最 小边覆盖包含的边数，称为G的边覆盖数，记为邹(G)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7 注：单图的一个边独立集实际上就是图的一个匹配， 一个最大边独立集就是其一个最大匹配。 G的一个边独立集 G的一个最大边独立集 定义4 设G=(V ,E)是一个图。E的一个边子集 L 称为G的 一个边覆盖,如果G中的每个顶点均是L中某条边的端点。 G的一个包含边数最少的边覆盖称为G的最小边覆盖。最 小边覆盖包含的边数，称为G的边覆盖数，记为β‵(G)
G的一个边覆盖 G的一个最小边覆盖 2、加莱恒等式 定理2（加莱）对任意不含孤立点的阶单图G,有： a(G)+(G)=n 证明：一方面，设α(G)=k,则G的最大匹配由k条边组 成，且覆盖了2k个顶点。 所以，余下的m-2k个顶点至多需要-2k条边就可以被 覆盖，于是：(G)≤k+(n-2k)=-k
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 8 G的一个边覆盖 G的一个最小边覆盖 2、加莱恒等式 定理2 (加莱) 对任意不含孤立点的n阶单图G，有： α‵(G)+ β‵(G)= n 证明：一方面, 设α‵(G)= k ,则G的最大匹配由k条边组 成，且覆盖了2k个顶点。 所以，余下的n-2k个顶点至多需要n-2k条边就可以被 覆盖，于是： β‵(G)≦k+(n-2k)=n-k
所以，m(G)+(G)≤k+(m-k)尸n 另一方面，设X是G的一个最小边覆盖，则IX|=(G)。 考虑导出子图F=GX。可以证明F中不会包含长度为3的迹。 若不然，设F中包含长度为3的迹。取该迹的中间边e,显 然，X-e仍然构成G的边覆盖，与X的最小性矛盾。 所以，F中不包含长度为3和大于3的迹。也不包含圈。 所以，F中的每个连通分支必然为星图。F是森林。 因为，阶数为n,边数为m-k的森林包含k个连通分支。 而F的边数为n-(n-(G),所以F有n-(G)个分支
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9 所以，α‵(G)+ β‵(G)≦ k+ (n - k)= n 另一方面, 设X是G的一个最小边覆盖，则 ｜X｜= β‵(G)。 考虑导出子图F = G[X]。可以证明F中不会包含长度为3的迹。 若不然，设F中包含长度为3的迹。取该迹的中间边e，显 然，X-e仍然构成G的边覆盖，与X的最小性矛盾。 所以，F中不包含长度为3和大于3的迹。也不包含圈。 所以，F中的每个连通分支必然为星图。F是森林。 因为，阶数为n，边数为n-k的森林包含k个连通分支。 而F的边数为n - (n- β‵(G)) ，所以F有n- β‵(G)个分支
从F的每个分支中选取一条边，可作成G的一个匹配， 所以a(G)≥n-(G)。 由上面两个不等式，得到：a(G)+G)=n。 例1确定下图G的a(G),(G),a(G),(G。 G 解：顶点2的左右两部分均是K,所以可以推知α(G)=2, 再由加莱恒等式得：(G)=5。 10
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10 从F的每个分支中选取一条边，可作成G的一个匹配， 所以α‵(G) ≥ n- β‵(G)。 由上面两个不等式，得到： α‵(G)+ β‵(G)= n。 例1 确定下图G的 α(G)， β(G)， α‵(G) ， β‵(G)。 1 4 3 2 5 6 7 G 解：顶点2的左右两部分均是K4, 所以可以推知α(G)=2， 再由加莱恒等式得： β(G) = 5