泛函分析 Hilbert空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 1,2021 1/41
泛 函 分 析 Hilbert 空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 1, 2021 1 / 41
内积空间与Hilbert空间的定义 正交系和正交基 Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 Hilbert空间上的共轭算子 投影定理 投影算子的性质 投影算子与不变子空间 泛函分析 November 1,2021 2/41
内积空间与 Hilbert 空间的定义 正交系和正交基 Riesz 表示定理与 Lax-Milgram 定理 Hilbert 空间上的共轭算子 投影定理 投影算子的性质 投影算子与不变子空间 泛函分析 November 1, 2021 2 / 41
定义 设H是线性空间，如果对任给x,y∈H,都对应着一个数（红，）∈F满足 如下条件： ()正定性：任给x∈H,有(，x)≥0，并且(x,x)=0当且仅当x=0: ()共轭对称性：对任何x,y∈H,有（红，）=(，： (ii)关于第一变元的线性性：对任何x,y,z∈H以及任何a,B∈F,有 (az+By,)=a(I,y)+B(y,2); 则称(，)为H中的内积，而称（红，）为x与y的内积.当F为实数 域时，称定义了内积的H为实内积空间.当F为复数域时，称定义了内 积的H为为复内积空间.一般地，我们称H为数域F上的内积空间 对任何x头，z∈H以及任何a,B∈F,有 (z,QT+By)=(Qx+By,2)=a(T,)+B(y,2) =a(x,2)+(,z=a(a,)+(名，) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的 泛函分析 November 1,2021 3/41
定义 设 H 是线性空间, 如果对任给 x, y ∈ H, 都对应着一个数 (x, y) ∈ F 满足 如下条件: (i) 正定性: 任给 x ∈ H, 有 (x, x) ≥ 0, 并且 (x, x) = 0 当且仅当 x = 0; (ii) 共轭对称性: 对任何 x, y ∈ H, 有 (x, y) = (y, x); (iii) 关于第一变元的线性性: 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (αx + βy, z) = α(x, y) + β(y, z); 则称 (·, ·) 为 H 中的内积, 而称 (x, y) 为 x 与 y 的内积. 当 F 为实数 域时, 称定义了内积的 H 为实内积空间. 当 F 为复数域时, 称定义了内 积的 H 为为复内积空间. 一般地，我们称 H 为数域 F 上的内积空间. 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (z, αx + βy) = (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(z, x) + β(z, y) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的. 泛函分析 November 1, 2021 3 / 41
例 设X是n维线性空间，{e1,e2,·,en}是X的-组基，对任 何x=∑巧9，y=∑，令（红=∑.容易验证它是内积.实 际上它与通常的欧几里德空间Cm或R"是同构的. 例 对x=(m,2,…,,…),y=(h,2,…,,…）∈，令 (1) 由Holder不等式可得(1)的右端小于无穷.容易验证(1)满足内积的所 有条件.因此，P是内积空间 泛函份析 November 1,2021 4/41
例 设 X 是 n 维线性空间, {e1, e2, · · · , en} 是 X 的一组基, 对任 何 x = Xn i=1 xjej , y = Xn i=1 yjej , 令 (x, y) = Xn i=1 xjyj . 容易验证它是内积. 实 际上它与通常的欧几里德空间 C n 或 R n 是同构的. 例 对 x = (x1, x2, · · · , xn, · · ·), y = (y1, y2, · · · , yn, · · ·) ∈ l 2 , 令 (x, y) = X∞ n=1 xnyn. (1) 由 Hölder 不等式可得 (1) 的右端小于无穷. 容易验证 (1) 满足内积的所 有条件. 因此，l 2 是内积空间. 泛函分析 November 1, 2021 4 / 41
例 在2(a,b)定义内积如下： 5g)=9(d, 容易验证它是一个内积. 引理 (Schwarz不等式)设H是内积空间.对任何x,y∈H,我们有 1(红，2≤（红，x(,. (2) 泛函分析 November 1,2021 5/41
例 在 L 2 (a, b) 定义内积如下: (f, g) = Z b a f(x)g(x)dx, ∀f, g ∈ L 2 [a, b]. 容易验证它是一个内积. 引理 (Schwarz 不等式) 设 H 是内积空间. 对任何 x, y ∈ H, 我们有 |(x, y)| 2 ≤ (x, x)(y, y). (2) 泛函分析 November 1, 2021 5 / 41