记号 救敛性与连续性 Sobolev —辅助知识 窦芳芳 November 23, 2021 窦芳芳 Sobolev 辅助知识
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 Sobolev 空间 ——辅助知识 窦芳芳 November 23, 2021 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识
记号 收敛社与连续州 记号 设F=R或C.对每个非负整n元数a=(a1,a2,,an), 记DP为阶数为ll=a1+a2十·+an的偏微分算子 alal 0x18x2.…0x始m 设区域2CR”.记 C()f:R:fis continuous } cm(2)≡{feC(2):DfeC(2)for all,la≤mh,m≥0， c(2)=∩cm(2) m>1 口卡4①21元克00 实芳芳 Sobolev空周 一满助知识
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 记号 设 F = R 或 C. 对每个非负整 n 元数 α = (α1, α2, . . . , αn) ， 记 D α 为阶数为 |α| = α1 + α2 + · · · + αn 的偏微分算子 ∂ |α| ∂x α1 1 ∂x α2 2 · · · ∂x αn n . 设区域 Ω ⊂ R n . 记 C(Ω) △ = {f : Ω → R : f is continuous }, C m(Ω) △ = {f ∈ C(Ω) : D α f ∈ C(Ω) for all α, |α| ≤ m}, m ≥ 0, C ∞(Ω) = ∩ m≥1 C m(Ω). 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识
记号 收敛性与连续州 记号 2中满足{x∈2：fx)≠0}的集合的闭包，记为supp(f) Co(2)是C()中有紧支集的函数的子集.类似地，定义 CW(2)=C"(2)∩Co(2).m≥1，C6(2)=C∞(2)nCo(2) 设21C2.记升2为函数f在21中的限制.令 cm(@)≌{a:f∈Cg(R)},C(@)e{An:feC6(R)} 口卡4回21元克000 实芳芳 Sobolev空博 一铺助知识
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 记号 Ω 中满足 {x ∈ Ω : f(x) 6= 0} 的集合的闭包，记为 supp (f). C0(Ω) 是 C(Ω) 中有紧支集的函数的子集. 类似地，定义 C m 0 (Ω) = C m(Ω) ∩ C0(Ω), m ≥ 1，C∞ 0 (Ω) = C∞(Ω) ∩ C0(Ω). 设 Ω1 ⊂ Ω. 记 f|Ω1 为函数 f 在 Ω1 中的限制. 令 C m(Ω) △ = { f|Ω : f ∈ C m 0 (R n ) } , C ∞(Ω) △ = { f|Ω : f ∈ C ∞ 0 (R n ) } . 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识
记 收敛性与连续故 收敛性与连续性 定义 设V是一个线性空间.如果对于所有的a∈F,p(a)=|ap(V, p(M十吃)≤p(M)+p(№)，v,M,2∈V,则泛函p:V→R称 为V上的半范.相应的，(V,p)称为半范空间. 1口卡4回子1元电月风0 实芳芳 Sobolev空博 一蒲助知识
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 收敛性与连续性 定义 设 V 是一个线性空间. 如果对于所有的 α ∈ F，p(αv) = |α|p(v)， p(v1 + v2) ≤ p(v1) + p(v2)，∀v, v1, v2 ∈ V，则泛函 p : V → R 称 为 V 上的半范. 相应的，(V, p) 称为半范空间. 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识
记男 收敛性与连续故 收敛性与连续性 引理 设(V,p)是一个半范空间，则 (1)lp()-p(2)I≤p(M-2),M,2∈V (2)p(M)≥0，M∈V, (3)核Ker(p)是V的一个子空间 (4)如果T∈C(W,),则poT:W→R是W上的一 个半范 (5)如果p是V上的一个半范且a≥0,1≤j≤n,则 aP是V上的一个半范。 如果p是对每个X卡0满足性质p(x)>0的半范，则其为 一个范数 实芳芳 Sobolev空g 满助知识
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记号 收敛性与连续性 收敛性与连续性 引理 设 (V, p) 是一个半范空间，则 (1) |p(v1) − p(v2)| ≤ p(v1 − v2) , ∀ v1, v2 ∈ V, (2) p(v1) ≥ 0 , ∀ v1 ∈ V, (3) 核 Ker(p) 是 V 的一个子空间 (4) 如果 T ∈ L(W, V), 则 p ◦ T : W → R 是 W 上的一 个半范. (5) 如果 pj 是 V 上的一个半范且 αj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n, 则 ∑n j=1 αjpj 是 V 上的一个半范. 如果 p 是对每个 x 6= θ 满足性质 p(x) > 0 的半范，则其为 一个范数. 窦芳芳 Sobolev 空间 ——辅助知识