泛函分析 Banach空间 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 October11,20211/53
泛 函 分 析 Banach 空间 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 October 11, 2021 1 / 53
Banach空间的定义及重要例子 1.1线性空间 1.2半范数与范数 1.3赋范线性空间与Banach空间 1.4有限维赋范线性空间与Riesz引理 有界线性算子和有界线性泛函 开映射定理 有界线性算子的逆 闭图像定理与共鸣定理 Hahn-Banach定理 Hahn-Banach定理的应用 7.1 Hahn-Banach定理的几何形式 7.2凸集分离定理 7.3测度问题 泛函分析 October 11,2021 2/53
Banach 空间的定义及重要例子 1.1 线性空间 1.2 半范数与范数 1.3 赋范线性空间与 Banach 空间 1.4 有限维赋范线性空间与 Riesz 引理 有界线性算子和有界线性泛函 开映射定理 有界线性算子的逆 闭图像定理与共鸣定理 Hahn-Banach 定理 Hahn-Banach 定理的应用 7.1 Hahn-Banach 定理的几何形式 7.2 凸集分离定理 7.3 测度问题 泛函分析 October 11, 2021 2 / 53
定义 设X是非空集合,F是数域(实数域或复数域),如果在X上定义了加 法运算和数乘运算满足如下公设: Ox十y=y+E ©x+(y+=(x+)+之 OX存在唯一元素,用0表示,使对每个x∈X,x+0=x.0称为X 中的零元 Q对X中的每个元素x,都存在唯一元素,用-x表示,使 x+(-)=0 a(x+y)=ax+ay ⊙(a+B)x=ax+Bx 0a(3x)=(a3)x ⑧1x=0 这里,x,头,z∈X,α,B∈F.则称X按上述加法和数乘成为复(当F是 复数域)或实(当F是实数域)线性空间 泛函份析 October 11,2021 3/53
定义 设 X 是非空集合,F 是数域(实数域或复数域). 如果在 X 上定义了加 法运算和数乘运算满足如下公设: 1 x + y = y + x 2 x + (y + z) = (x + y) + z 3 X 存在唯一元素,用 0 表示,使对每个 x ∈ X, x + 0 = x. 0 称为 X 中的零元 4 对 X 中的每个元素 x, 都存在唯一元素,用 −x 表示,使 x + (−x) = 0 5 α(x + y) = αx + αy 6 (α + β)x = αx + βx 7 α(βx) = (αβ)x 8 1x = x0 这里,x, y, z ∈ X, α, β ∈ F. 则称 X 按上述加法和数乘成为复(当 F 是 复数域)或实(当 F 是实数域)线性空间. 泛函分析 October 11, 2021 3 / 53
定义 线性空间X中的一个非空子集M称为X中的线性流形,如果对任意的 x,y∈M与数a,都有x+弘,ax∈M. 如果M是X中的一个线性流形,此M本身也成为线性空间. 设,2,…,m是线性空间X中的n个元素,a1,·,an是n个 数,形如a1西十…+ann的元素称为元素,2,·,n的线性组合 设S是线性空间X的任意非空子集,S中元素的所有线性组合的 集合M是X的一个线性流形,称为由S张成的线性流形,记为 M=span{sh. 。M是X中包含S的所有的线性流形的交, QM是X中包含S的最小线性流形,即如果N是X中包含S的线 性流形,则N也包含M. 泛函分析 October 11,2021 4/53
定义 线性空间 X 中的一个非空子集 M 称为 X 中的线性流形,如果对任意的 x, y ∈ M 与数 α, 都有 x + y, αx ∈ M. 如果 M 是 X 中的一个线性流形,此 M 本身也成为线性空间. 设 x1, x2, · · · , xn 是线性空间 X 中的 n 个元素,α1, · · · , αn 是 n 个 数,形如 α1x1 + · · · + αnxn 的元素称为元素 x1, x2, · · · , xn 的线性组合. 设 S 是线性空间 X 的任意非空子集,S 中元素的所有线性组合的 集合 M 是 X 的一个线性流形,称为由 S 张成的线性流形,记为 M = span{S}. 1 M 是 X 中包含 S 的所有的线性流形的交. 2 M 是 X 中包含 S 的最小线性流形,即如果 N 是 X 中包含 S 的线 性流形,则 N 也包含 M. 泛函分析 October 11, 2021 4 / 53
线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关 定义 线性空间X中有限的向量集合{,·,}是线性相关的,如果存在不 全为零的数a1,·,an,使a+…+ann=0.否则,就称为线性无 关的,这时关系a1+·+andm=0蕴含a1=·=an.一个无穷的 向量集合S称为线性无关的,如果S的每个有限子集都是线性无关的 否则,S称为线性相关的 容易看出,包含一个线性相关子集的集合一定线性相关;线性无关 集一定包含零向量, 定义 设线性空间X,如果存在正整数n,使X包含由n个向量组成的线性 无关集,而且X中每n+1个向量的集合都是线性相关的,则称X是 有限维的;如此的n称为X的维数,有时记作dimX=n 只有零向量的线性空间也称为有限维的,即零维的.如果X不是有限维 的,就称为无穷维的,这时记作dimX=oo. 泛函分析 October 11,2021 5/53
线性空间中最重要的概念是线性相关与线性无关. 定义 线性空间 X 中有限的向量集合 {x1, · · · , xn} 是线性相关的,如果存在不 全为零的数 α1, · · · , αn,使 ax1 + · · · + αnxn = 0. 否则,就称为线性无 关的,这时关系 α1x1 + · · · + αnxn = 0 蕴含 α1 = · · · = αn. 一个无穷的 向量集合 S 称为线性无关的,如果 S 的每个有限子集都是线性无关的. 否则,S 称为线性相关的. 容易看出,包含一个线性相关子集的集合一定线性相关;线性无关 集一定包含零向量. 定义 设线性空间 X,如果存在正整数 n,使 X 包含由 n 个向量组成的线性 无关集,而且 X 中每 n + 1 个向量的集合都是线性相关的,则称 X 是 有限维的;如此的 n 称为 X 的维数,有时记作 dimX = n. 只有零向量的线性空间也称为有限维的,即零维的. 如果 X 不是有限维 的,就称为无穷维的,这时记作 dimX = ∞. 泛函分析 October 11, 2021 5 / 53