Sobolev空间 广义函数 窦芳芳 2021年11月23日 日++02元克月00 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sobolev 空间 广义函数 窦芳芳 2021 年 11 月 23 日 窦芳芳 Sobolev 空间
具紧支集的光滑函数 广义函数 缓增分布及Fourier变换 Fourier变换 Schwarz 缓增分布 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 具紧支集的光滑函数 2 广义函数 3 缓增分布及 Fourier 变换 Fourier 变换 Schwarz 函数类 缓增分布 窦芳芳 Sobolev 空间
Ck(R空间 C(R”)=BC(R)是Rn上有界连续函数f:Rn→C组成的 Banach空间，其范数定义为 llflo® 会sup fx)训 X∈Rn 对任意非负整数k,可定义所有k次连续可微且各阶导数均 有界的函数集合为Banach空间C*(Rn),其范数为 ce∑∑ sup lof(x)l. j=0 lal=j X∈Rn C∞(R)兰∩1C*(R”)(光滑函数，且所有阶导数均有界). 口0171元电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C k (R n ) 空间 C 0 (R n ) = BC(R n ) 是 R n 上有界连续函数 f : R n → C 组成的 Banach 空间，其范数定义为 ||f||C0(Rn) △ = sup x∈Rn |f(x)|. 对任意非负整数 k，可定义所有 k 次连续可微且各阶导数均 有界的函数集合为 Banach 空间 C k (R n )，其范数为 ||f||Ck(Rn) △ = X k j=0 X |α|=j sup x∈Rn |∂ α f(x)|. C∞(R n ) △ = T∞ k=1 C k (R n ) (光滑函数，且所有阶导数均有界). 窦芳芳 Sobolev 空间
注1.1 在某些文献中，C(R)也被用来记k次连续可微的函数集.这类 函数有可能是无界的.如e∈C*(R).这里，我们将记这类函数 (有无界导数)的集合为C(R)即它们仅在局部是C的)，而 不是C*(R) 如果f∈C*(2),g∈C(2),则fg∈Cmim(k0(2),且乘子映射 从C*(2)×C()到Cmin(k,0(2)连续的. c(R")C(R)C(R).... 对任意m≥0阶常系数偏微分算子 L=∑x0X” lal≤m 对任意k≥0，L是从C+m(R)到C*(R”)的有界线性算子 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 注 1.1 在某些文献中, Ck (R n ) 也被用来记 k 次连续可微的函数集. 这类 函数有可能是无界的. 如 e x ∈ C k (R). 这里，我们将记这类函数 (有无界导数) 的集合为 C k loc(R n ) (即它们仅在局部是 C k 的), 而 不是 C k (R n ). 如果 f ∈ C k (Ω)，g ∈ C l (Ω), 则 fg ∈ C min(k,l) (Ω), 且乘子映射 从 C k (Ω) × C l (Ω) 到 C min(k,l) (Ω) 连续的. C 0 (R n ) ⊃ C 1 (R n ) ⊃ C 2 (R n ) ⊃ · · · . 对任意 m ≥ 0 阶常系数偏微分算子 L = X |α|≤m cα ∂ α ∂x α1 1 · · · ∂x αd d , 对任意 k ≥ 0，L 是从 C k+m(R n ) 到 C k (R n ) 的有界线性算子. 窦芳芳 Sobolev 空间
记C(R)为所有光滑且有紧支集的函数f:Rn→C的集 合.称f∈C2(R)为试验函数. 设f:R→R定义为 e-1/ if t>0, lo, ift≤0 是光滑的.则(x)=a-11-x2)是一个试验函数，其中 a=∫Rnf1-lxP)dk.对e>0,令pe(x=e-npe(x/e) 对每-e>0,Pe∈C0(R")满足 pe≥0，supp(pe)C{x∈R”:X≤e .=1. 这类函数称为磨光化子。 口卡+01t1电月只0 窦芳芳 Sobolev空间
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 记 C∞ c (R n ) 为所有光滑且有紧支集的函数 f : R n → C 的集 合. 称 f ∈ C∞ c (R n ) 为试验函数. 设 f : R → R 定义为 f(t) = e −1/t , if t > 0, 0, if t ≤ 0 是光滑的. 则 φ(x) = a −1 f(1 − |x| 2 ) 是一个试验函数，其中 a = R Rn f(1 − |x| 2 )dx. 对 ε > 0, 令 φε(x) = ε −nφε(x/ε). 对每一 ε > 0, φε ∈ C∞ 0 (R n ) 满足 φε ≥ 0 , supp (φε) ⊂ {x ∈ R n : |x| ≤ ε}, Z Rn φεdx = 1. 这类函数称为磨光化子. 窦芳芳 Sobolev 空间