泛函分析 紧算子和Fredholm算子 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 9,2021 1/20
泛 函 分 析 紧算子和 Fredholm 算子 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 9, 2021 1 / 20
紧算子 1.1紧算子的定义与基本性质 1.2紧算子与有限秩算子 Fredholm算子 2.1 Fredholm算子的性质 泛函份析 November 9.2021 2/20
紧算子 1.1 紧算子的定义与基本性质 1.2 紧算子与有限秩算子 Fredholm 算子 2.1 Fredholm 算子的性质 泛函分析 November 9, 2021 2 / 20
紧算子的定义与基本性质 设X和Y为赋范线性空间， 定义 设A∈C(X;).若A把X中每个有界集都映射为Y中列紧集（即对有 界的{}21CX,{A}21恒有收敛的子列)，则称A为紧算子或者全 连续算子 C(X;)表示X到Y的全体紧算子构成的集合.若X=Y,则我们 简记该空间为C(X). 泛函分析 November 9.2021 3/20
紧算子的定义与基本性质 设 X 和 Y 为 赋范线性空间. 定义 设 A ∈ L(X; Y). 若 A 把 X 中每个有界集都映射为 Y 中列紧集 (即对有 界的 {xn}∞ n=1 ⊂ X, {Axn}∞ n=1 恒有收敛的子列), 则称 A 为紧算子或者全 连续算子. C(X; Y) 表示 X 到 Y 的全体紧算子构成的集合. 若 X = Y, 则我们 简记该空间为 C(X). 泛函分析 November 9, 2021 3 / 20
例 设K(,)是[0,1×0,1刂上的连续函数，定义C(0,1)上积分算子如下： (A(9=厂Ks,(⊙dx=)eC0,1). 则A是X=C(0,1)上的紧算子 泛函分析 November 9.2021 4/20
例 设 K(·, ·) 是 [0, 1] × [0, 1] 上的连续函数, 定义 C([0, 1]) 上积分算子如下: (Ax)(s) = ∫ 1 0 K(s, t)x(t)dt, x = x(t) ∈ C([0, 1]). 则 A 是 X = C([0, 1]) 上的紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 4 / 20
例 设I为P上的恒等算子.设 -1个 en={0,…,0,1,0,,},n=1,2,·, 则lenl=1,而 ‖%-e=V2,j≠k 故Ie=em,n=1,2,·,没有收敛的子列，从而I不是紧算子 泛函分析 November 9,2021 5/20
例 设 I 为 l 2 上的恒等算子. 设 en = { n−1个 z }| { 0, · · · , 0, 1, 0, · · · }, n = 1, 2, · · · , 则 ∥en∥ = 1, 而 ∥ej − ek∥ = √ 2, j ̸= k. 故 Ien = en, n = 1, 2, · · · , 没有收敛的子列, 从而 I 不是紧算子. 泛函分析 November 9, 2021 5 / 20