导航 课堂·重难突破 探究一共线向量定理的应用 【例1】如图，四边形ABCD,ABEF B 都是平行四边形，且不共面，M,N分 M N 别是AC,BF的中点，判断CE与MN 是否共线 A 分析：要判断CE与MN是否共线，由共线向量定理判定是否存 在实数x,使CE=xMN.若存在，则CE与MN共线，否则C正与MN 不共线
导航 课堂 ·重难突破 探究一 共线向量定理的应用 【例 1 】如图 ,四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形 ,且不共面 ,M, N分 别是AC,BF的中点 , 判 断 是否共线 . 𝑪 𝑬 与 𝑴 𝑵 分析:要判断 𝑪 𝑬 与 𝑴 𝑵 是否共线,由共线向量定理判定是否存 在实数 x,使 𝑪 𝑬 =x 𝑴 𝑵 .若存在,则 𝑪 𝑬 与 𝑴 𝑵 共线,否则 𝑪 𝑬 与 𝑴 𝑵 不共线
解：.M,N分别是AC,BF的中点，而四边形ABCD,ABEF都是 平行四边形， .MN=MA+A正+FN=2CA+A正+2FB 又MN=MC+CE+EB+BN-CA+C正-AF-3FB, ∴CA+A+F丽=C+C正-A正-FB. .'.CE CA+2AF+FB-2(MA+AF+Fn). ∴.CE=2MN,.CEI‖MN,即CE与MN共线
导航 解:∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是 平行四边形, ∴𝑴 𝑵 = 𝑴 𝑨 + 𝑨 𝑭 + 𝑭 𝑵 = 𝟏 𝟐 𝑪 𝑨 + 𝑨 𝑭 + 𝟏 𝟐 𝑭 𝑩 . 又𝑴 𝑵 = 𝑴 𝑪 + 𝑪 𝑬 + 𝑬 𝑩 + 𝑩 𝑵 =- 𝟏 𝟐 𝑪 𝑨 + 𝑪 𝑬 − 𝑨 𝑭 − 𝟏 𝟐 𝑭 𝑩 , ∴ 𝟏 𝟐 𝑪 𝑨 + 𝑨 𝑭 + 𝟏 𝟐 𝑭 𝑩 =- 𝟏 𝟐 𝑪 𝑨 + 𝑪 𝑬 − 𝑨 𝑭 − 𝟏 𝟐 𝑭 𝑩 . ∴𝑪 𝑬 = 𝑪 𝑨 +2𝑨 𝑭 + 𝑭 𝑩 =2(𝑴 𝑨 + 𝑨 𝑭 + 𝑭 𝑵 ). ∴𝑪 𝑬 =2𝑴 𝑵 ,∴𝑪 𝑬 ∥ 𝑴 𝑵 ,即𝑪 𝑬 与𝑴 𝑵 共线
导航 反思感悟 1.证明向量共线的方法 ()若a≠0，且ba,则存在唯一实数2，使得b=a (2)若存在唯一实数2，使得b=a,b≠0，则alb. 2.证明空间三点共线的三种思路. 对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数2，使PA=PB成立. (2)对空间任一点O,有OP=0A+tAB(t∈R). (3)对空间任一点O,有OP=x0A+y0Bc+y=1)
导航 1.证明向量共线的方法. (1)若a≠0,且b∥a,则存在唯一实数λ,使得b=λa. (2)若存在唯一实数λ,使得b=λa,b≠0,则a∥b. 2.证明空间三点共线的三种思路. 对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线. (1)存在实数 λ,使𝑷 𝑨 =λ𝑷 𝑩 成立. (2)对空间任一点 O,有𝑶 𝑷 = 𝑶 𝑨 +t𝑨 𝑩 (t∈R). (3)对空间任一点 O,有𝑶 𝑷 =x𝑶 𝑨 +y𝑶 𝑩 (x+y=1)
导航 变式训练1】 如图，已知空间四边形ABCD,E,H分别是边 AB,AD的中点，F,G分别是边CB,CD上的点，且CF= CB,CG=cD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形 E B
导航 【变式训练 1】 如图,已知空间四边形 ABCD,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 CB,CD 上的点,且𝑪 𝑭 = 𝟐 𝟑 𝑪 𝑩 , 𝑪 𝑮 = 𝟐 𝟑 𝑪 𝑫 .利用向量法证明四边形 EFGH 是梯形