陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXINOA二、对数函数1.定义满足方程ew=z(z≠O)的函数 w=f(z)称为对数函数，记为w=Lnz=Inz+iArgz由于Argz为多值函数，所以对数函数w=f(z）也是多值函数，并且每两值相差2元的整数倍
二、对数函数 1. 定义 , Ln ln Arg . ( 0) ( ) w z z i z e z z w f z w 称为对数函数 记为 满足方程 的函数 , 2π . Arg , ( ) 也是多值函数 并且每两值相差 的整数倍 由于 为多值函数 所以对数函数 i z w f z
陕西师乾大學味数学与信息科学学院SHAANXLNO如果将 Lnz = Inz+ iArgz 中 Argz 取主值 arg z,那末Lnz为一单值函数，记为lnz，称为Lnz的主值Inz=Inz+iargz.其余各值为 Lnz =lnz+2k元i(k =±1,±2,),对于每一个固定的k，上式确定一个单值函数。称为Lnz的一个分支。特殊地，当z=x>0时,Lnz的主值Inz=Inx，是实变数对数函数
如果将 Lnz ln z iArgz中Argz 取主值arg z, 那末 Lnz 为一单值函数，记为ln z，称为Lnz的主值. ln z ln z i arg z. 其余各值为 Lnz ln z 2ki (k 1,2,), Ln . , , 称为 的一个分支 对于每一个固定的 上式确定一个单值函数 z k 特殊地, . 0 , Ln ln ln , 是实变数对数函数 当 z x 时 z的主值 z x
陕西师報大学陈数学与信息科学学院HAANX例1 求 Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值解因为 Ln2 = ln2+2k元i.所以Ln2的主值就是 ln2.因为 Ln(-1) = ln1 +iArg(-1)=(2k+1)元i(k为整数)所以Ln(-1)的主值就是元i.注意：在实变函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广
例1 解 求 Ln2, Ln(1)以及与它们相应的主值 . 因为 Ln2 ln2 2ki, 所以 Ln2的主值就是 ln2. 因为 Ln(1) ln1 iArg(1) (2k 1)i (k为整数) 所以 Ln(1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广
陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMANE例2 解方程 e-1-~3i=0.解因为 e"=1+~3i,所以 z=Ln(1+/3i)元=In1+~3i +il+2k元3元=In2+i+2k元3(k=0,±1,±2,..）
例2 解 e 1 3i 0. 解方程 z e 1 3i, z 因为 所以 z Ln(1 3i) i i 2k 3 ln1 3 i 2k 3 ln2 (k 0, 1, 2,)