陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.3 初等函数

陕西师報大學乐数学与信息科学学院2SHAANXNORMA1N(1) ei-2z = ei-2(x+iy)-2x+i(1-2 y)Ox(x+iy)ez=z(3)e" = ex+yiRe(e")COS

i z e 2 (1)  i 2( x iy ) e    , 2 x i(1 2 y ) e     ; i 2z 2 x e e    2 (2) z e 2 ( x iy ) e   , 2 2 2 x y xyi e    ; 2 2 2 z x y e e    z e 1 (3) x yi e  1 , 2 2 2 2 x y y i x y x e      Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z   

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院T例2 求出下列复数的辐角主值：(1)e2+i; (2)e2-3'; (3)e3+4i; (4)e-3-4i; (5)eiα -eiB(0≤β<α≤2元)解 因为e"=e*+iv =e*(cos y+isin y)的辐角Arge"=y+2k元(k为整数)其辐角主值arge为区间(-元，元内的一个辐角arge?+i = 1;(1) Arge2+i =1+2k元,(2) Arge2-3i = -3 + 2kπ, arge2-3i = -3;

例2 解 求出下列复数的辐角主值: (0 2π). (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 2 2 3 3 4 3 4            i i i i i i e e e e e e 因为e z  e xiy  e x (cos y  isin y)的辐角 Arge y 2k (k为整数) z    其辐角主值 arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2     e k i arg 1; 2  i e (2) Arg 3 2 , 2 3      e k i arg 3; 2 3    i e

陕品师大学陈数学与信息科学学院HOANXINORMAINUE(3)e3+4i,4i =4+ 2kn, arge3+4i =4-2元;23Arge(4)e-3-4i.Arge-3-4i = -4+2kπ, arge-3-4i = -4+ 2元;(5)eiα -eiβ = cosα +isinα-(cos β+isin β)=(cosα -cos β)+i(sinα -sin β)α-βα+βα+βα-β+2icos=-2sinsinsin2222α-βα+βα+β2sin-sinCOS222C

Arg 4 2 , 3 4     e k i arg 4 2 ; 3 4     i e Arg 4 2 , 3 4       e k i arg 4 2 ; 3 4       i e i i (5)e  e (3) ; 3 4i e  (4) ; 3 4i e    cos  isin  (cos   isin  )  (cos  cos  )  i(sin  sin  ) 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2sin                i             2 cos 2 sin 2 2sin       i

陕品师乾大学陈数学与信息科学学院SHAANXLNORMAINα-βπ+α+βπ+α+β=2sincos1S222α-β因为 0≤β<α≤2元,0Si2上式就是复数eiα－eiβ的三角表示式π+α+β所以 Arg(eiα -ei)=+2k元,2元+α+β当α+β时,arg(eiα-ei)2元+α+β当α+β>π时,arg(eiα-ei)=2元2

             2 π sin 2 π cos 2 2sin       i 因为 0     2π, 0, 2 sin     上式就是复数 的三角表示式. i i e  e Arg( ) i i 所以 e  e 2 π, 2 π  k      当    π时, arg( ) i i e  e , 2 π     当    π时, arg( ) i i e  e 2π. 2 π      

陕西师乾大学乐数学与信息科学学院SHAANXNORMAIUNIVEE例3 求函数 ,f(z)=e5 的周期解e"的周期是2kπi,z+10k元iZ3+2ki5f(z)=e5 =e5=e= f(z+10k元i)Z.故函数f(z）=e5的周期是10k元i

例3 求函数 ( ) 5 的周期. z f z e 解 e 2k i, z 的周期是  5 ( ) z f z e k i z e    2 5 5 z 10k i e    故函数 f (z) e 5 的周期是 10k i. z    f (z  10ki)