群中的术语（续） 定义设G是群，x∈G,n∈Z,则x的n次幂xn 定义为 e n=0 x"={x-x n>0 n∈Z (x-1)m m=-n,n<0 实例 在<Z3,⊕>中有2-3=(2-1)3=13=1⊕1⊕1=0 在<Z,+>中有(-2)-3=23=2+2+2=6
群中的术语（续） 实例 在<Z3 , >中有 2 3=(21 ) 3=13=111=0 在 <Z,+> 中有 (2)3=23=2+2+2=6 定义 设G是群，x∈G，n∈Z，则 x 的 n 次幂 x n 定义为 n Z x m n n x x n e n x m n n ( ) , 0 0 0 1 1
群中的术语（续） 定义设G是群，x∈G,使得等式xk=e成立 的最小正整数k称为x的阶（或周期），记 作x=k,称x为k阶元.若不存在这样的正 整数k,则称x为无限阶元
定义 设G是群，x∈G，使得等式 x k = e 成立 的最小正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记 作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 x 为无限阶元. 群中的术语（续）
实例 在<Z,⊕>中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和 5是6阶元，0是1阶元 在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数都是无限阶元
在<Z6 ,>中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在<Z,+>中，0 是 1 阶元，其它整数都是无限阶元. 实例
群的性质-幂运算规则 定理1设G为群，则G中的幂运算满足： (1)x∈G,x1)1=x. (2)x,y∈G,()1=ylx1. (3)x∈G,x"xm=x+m,n,m∈Z. (4)x∈G,x四m=xnm,n,m∈Z. (⑤)若G为交换群，则(y)=xy". 推广： (2.)=xn1x12x -1
群的性质-幂运算规则 定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) x∈G，(x 1 ) 1 = x. (2) x, y∈G，(xy) 1 = y 1x 1 . (3) x∈G，x nx m = x n+m ，n, m∈Z. (4) x∈G，(x n ) m = x nm ，n, m∈Z. (5) 若G为 交换群，则 (xy) n = x ny n . 推广： 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ( . ) . x x xn xn xn x x
群的性质-群方程存在唯一解 定理2G为群，Va,b∈G,方程=b和y=b在G 中有解且仅有惟一解。 1b是=b的解.b1是ya=b的唯一解. 例设G=<P({a,b}),⊕>，其中⊕为对称差解群方程 {⊕X=0,Y⊕{a,b}={b} 解：X={}-1⊕☑={a⊕☑={a, Y={b}⊕{a,b}-1={b}⊕{a,b}={0}
群的性质-群方程存在唯一解 定理2 G为群，a,b∈G，方程 ax=b 和 ya=b 在G 中有解且仅有惟一解. a 1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解. 例 设 G=<P({a,b}),>，其中为对称差.解群方程 {a} X = ， Y {a,b} = {b} 解： X = {a} 1 = {a} = {a}， Y = {b}{a,b} 1 = {b}{a,b} = {a}