群的性质-消去律 定理3G为群，则G适合消去律，即Va,b,c∈G有 (1)若ab=c,则b=c. (2)若ba=ca,则b=c
群的性质-消去律 定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c. (2) 若 ba = ca，则 b = c
例 设G={a1,2,a}是n阶群，令 a,G={4:45lj=1,2,.,n} 证明a,G=G. 证由群中运算的封闭性有a,GcG.假设，GcG, 即la,GKn.必有aak∈G使得 :%=4:4k（tk) 由消去律得；=aw,与1G=n矛盾
例 设 G = {a1 , a2 , ., an } 是 n 阶群，令 aiG = { ai aj | j =1,2, . , n } 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG， 即|aiG|<n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j≠k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n 矛盾
定理4设G为群，a∈G,且|a=r,则 (1)ak=e当且仅当r|k (2)|a-1|=|al 定理群中不可能有零元
定理4 设G为群,a G,且|a|=r,则 (1) ak= e 当且仅当 r|k (2) |a-1|=|a| 定理 群中不可能有零元
例设G为群，a,b∈G是有限阶元。 证明(1)|b-1abl=|al (2)labl=lbal
例 设G为群,a，b G是有限阶元。 证明(1) |b-1ab|= |a| (2) |ab|=|ba|
第十一章 半群与群 ■11.3子群
第十一章 半群与群 11.3 子群