湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二次型与二次曲面

程数 满秩变换 ∫=XTAX_XC→∫=YTBy台B=CTAC 定义 对于n阶实对称矩阵A和B,若 存在可逆矩阵P使 PTAP=B 则称A合同于B,记作A~B 第七章

第七章 工 程 数 学 满秩变换 X=CY f = X TAX f = Y TBY  B =CTAC 定义 对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若 存在可逆矩阵 P 使 PTAP=B 则称 A 合同于B，记作 A B 

程國学 定义 如果满秩变换X=CY将二次型∫=X4X化 成了标准二次型∑4,则称∑y2为f=XAX 的一个标准形 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 如果满秩变换 X=CY 将二次型 f = XTAX 化 成了标准二次型  , = n i i i y 1 2  = n i i i y 1 2 则称  的一个标准形. 为 f = XTAX

程國学 82正交变换 一、正交变换的概念 定义 设a是n维欧氏空间Rn上的线性变 换,若对任意的X,Y∈R,有 σ(X-σ(Y)‖=‖x(2) 则称a为Rn上的正交变换 (*)可写成: ‖a(X-y)‖=‖xy 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 §2. 正交变换 一、正交变换的概念 设  是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变 换，若对任意的 X, YRn , 有 ||  (X)−  (Y ) || = || X−Y || (* ) 则称  为 Rn 上的正交变换. (*)可写成： ||  (X−Y ) || = || X−Y ||

程國学 定理1 设σ是欧氏空间R上的线性变换,则 下列四个条件等价(互为充分必要条件) (1)为正交变换(!(x(Y川=X-) (2)σ把R的标准正交基变为标准正交基 (3)|l(l)ll,lva∈R(保持向量长度不变) (4)(a(X),σ(Y)=(X,Y).(保内积不变) 第七章

第七章 工 程 数 学 定理1 设  是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则 下列四个条件等价(互为充分必要条件) (1)  为正交变换 (2)  把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 (3) || ()||=||||,  Rn (保持向量长度不变) (4) ( (X ),  (Y ))=( X, Y ). (保内积不变) ( ||  (X)−  (Y )||=|| X−Y || )

程國 二、正交矩阵 定义 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵 称为正交矩阵 定理2 A是正交矩阵兮ATA=E(或4AT=E) 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 定理2 二、正交矩阵 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵 称为正交矩阵. A 是正交矩阵  ATA=E (或AAT=E)