湖南大学：《工程数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 二次型与二次曲面

程國学 C 12 f=(x,y,2)a21 a22 a23y 31 32 =XTAX 称A为二次型∫的矩阵,它是一个对称矩阵 元实二 对应三阶实对 次型f 称矩阵A 第七章

第七章 工 程 数 学 = XT AX 称A为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵.                     = z y x a a a a a a a a a f (x, y,z) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 三元实二 次 型 f 三阶实对 称矩阵A 一一对应 A X

例1.写出f=x2+3y2+422+2xy+3y的矩阵A 并用矩阵形式表示∫ 解 A=13 0324 0 x f=(x,y, 3) 032 2 第七章

第七章 工 程 数 学 例1. . 3 4 2 3 . 2 2 2 f f x y z x y yz A 并用矩阵形式表示 写出 = + + + + 的矩阵 解: A =           = z y x f x y z 4 2 3 0 2 3 1 3 1 1 0 ( , , ) 1 3 4 1 0 2 3 2 3 1 0

程國 例2若二次型∫的矩阵为 1√2 A=-120试写出f 解 f=(x,y)-120y x2+2y2+3z2-2xy+2√2xz 第七章

第七章 工 程 数 学 例2. 解: 若二次型 f 的矩阵为           − − = 2 0 3 1 2 0 1 1 2 A 试写出 f .                     − − = z y x f x y z 2 0 3 1 2 0 1 1 2 ( , , ) x 2y 3z 2xy 2 2xz 2 2 2 = + + − +

程数 二、n元二次型及其矩阵表示 定义 称n元实二次齐次式 f(x1,x2,…,xn)=a1x1+2a12x1x2+…+2a1n2x1xn 2 +a2x2+…+2a2x2x +aX nn·n 为n元实二次型 第七章

第七章 工 程 数 学 定义 二、n元二次型及其矩阵表示 称 n 元实二次齐次式 n n n f x x x a x a x x a x x 1 2 1 2 1 1 2 ( 1 , 2 ,  , ) = 1 1 1 + 2 ++ 2 n n a x a x x 2 2 2 + 22 2 ++ 2 + 2 nn n + a x 为 n 元实二次型

程國 = f(x1,x2…x)=∑∑ax(或∑1x) I=I J 1,J 记X=(x1,x2,…,xn),A=(an)n,则 f(x1,x2,…,xn)=XTAX, 其中A称为二次型的矩阵,A的秩称为二次 型的秩 第七章

第七章 工 程 数 学 记 aij = aji, 则 = = = n i n j n i j i j f x x x a x x 1 1 1 2 ( , ,, ) ( ) , 1 = n i j ij i j 或 a x x 记 X = ( x1 , x2 , …, xn ) T , A=(aij )nn , 则 f ( x1 , x2 , …, xn )= X TAX, 其中 A 称为二次型的矩阵，A 的秩称为二次 型的秩