关键第一换元法求不定积分的步骤第一步：把被积函数f(x)分解成两部分因式相乘的形式，一部分是β(x)的函数另一部分是β(x)的导数;第二步： 凑微分β'(x)dx =dp(x),并作变量代换u=@(x),把关于x的不定积分转化成关于u的不定积分f(u)du
第一换元法求不定积分的步骤： ( ) ( ), ( ), ( ) . x x x u x x u f u u = = 凑微分 d d 并作 变量代换 把关于 的不定积分 转化成关于 的不定积分 步 d 第二 ： 关键 ( ) ( ) , ( ) f x x x 把被积函数 分解成两部分 因式相乘的形式，一部分是 的函数 另一部分 第一步： 是 的导数；
例1 求[ sin’ xcos xdx.解{sin’ x sin'x dx =I sin'xd sin xg(u)u=sinxsin xu=+C.4
d 3 sin cos x x x 1 4 4 = + u C 1 . 4 = + C 例 求 d 3 1 sin cos . x x x 解 3 sin x u x = sin d = d 3 sin x sin x g u( ) u x = sin u = sin x u 3 4 sin x
dx求例2(a +0)2a+x提示与分析：变形被积函数，用凑微分法求解1dxa?dx解分子、分母同除以a2+xaXa-0rdxda11x1+()u=aadu1+u0
d 2 2 x a x = + d 例 求 2 2 2 ( 0). x a a x + 解 2 1 a 提示与分析：变形被积函数，用凑微分法求解. d 2 2 x a x + 2 a 分子、分母同除以 2 a = dx 1 a 2 1 a 2 1 ( ) x a + 1 a 2 2 2 a x a + = d x a 1 a 2 1 ( ) x a + x u a = = d 2 1 1 u a u +
du1+u熟练后可以省略变量1-arctanu+Caxaarctan() +Ca
= d 2 1 1 u a u + = 1 arctanu C a +x u a = = 1 arctan( ) . x C a a + 熟练后可以省略变量 u
例3 求[xsin(x’) dx.解{ xsin(x")dx =[ sin(x")(x")'dx[ sin(x")(x’) dx/ssin(x°)dx2 :cosx +C三2说明使用第一积分公式的关键在于将[ f(x)dx 化为 J f[p(x)]p(x)dx
d 2 x x x sin( ) = d 2 sin( ) x x x 1 2 ( ) 2 x = ) d 2 2 sin( )( x x x = 1 2 cos . 2 − + x C 例 求 )d 2 3 sin( . x x x 解 d 1 2 2 sin( ) 2 x x 1 2 = 说明 使用第一积分公式的关键在于将 化为 f x x x [ ( )] ( ) . d f x x ( )d