Poz=f(xy)0CyoxJyaα图 17-1如图17-1所示，偏导数f(xo,Jo）的几何意义为：在平面= yo上，曲线 C在点 P处的切线与x轴正向所成倾角α的正切，即f(xo,Jo)=tanα后页返回前页
前页 后页 返回 如图17-1 所示，偏导数 0 0 ( , ) x f x y 的几何意义为: 在平面 0 y y = 上, 曲线 C 在点 P0 处的切线与 x 轴 0 0 ( , ) tan . x 正向所成倾角 的正切，即 f x y = x y z O P0 图 17-1 0 y z f x y = ( , ) C •
可同样讨论偏导数f,(x,J)的几何意义(请读者自行叙述)。由偏导数的定义还知道，多元函数f对某一个自变量求偏导数，是先把别的自变量看作常数，变成一元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用例2 求函数 f(x,)=x2 +2x-y3 在点(1,3)处关于x和关于y的偏导数解先求f 在点(1,3)处关于x的偏导数.为此,令返回前页后页
前页 后页 返回 可同样讨论偏导数 0 0 ( , ) y f x y 的几何意义 (请读者自 行叙述)． 由偏导数的定义还知道, 多元函数 f 对某一个自变 量求偏导数, 是先把别的自变量看作常数, 变成一 元函数的求导. 因此第五章中有关求导数的一些基 本法则, 对多元函数求偏导数仍然适用. 例2 3 2 3 求函数 在点 处关 f x y x x y y ( , ) 2 (1,3) = + − 于 x 和关于 y 的偏导数. 解 先求 f 在点 (1, 3) 处关于 x 的偏导数. 为此, 令
y=3,得到 f(x,3)=x3 +6x2 -27, 求它在x=1 的导数,则得df(x,3)= (3x° + 12 x)f.(1,3) == 15.dxx=1x=1再求f 在(1,3)处关于y的偏导数.为此令x=1,得f(l,y)=1+2y-y",求它在y= 3 处的导数,又得_ df(1,y)= 2 - 3y2= -25.f,(1,3) =y=3dyly=3通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数：后页返回前页
前页 后页 返回 y = 3, 得到 3 2 f x x x ( ,3) 6 27, = + − 求它在 x = 1 的导 数, 则得 2 1 1 d ( ,3) (1,3) (3 12 ) 15. d x x x f x f x x x = = = = + = 再求 f 在 (1, 3) 处关于 y 的偏导数. 为此令 x = 1, 得 3 f y y y (1, ) 1 2 , = + − 求它在 y = 3 处的导数, 又得 2 3 3 d (1, ) (1,3) 2 3 25. d y y y f y f y y = = = = − = − 通常也可先分别求出关于 x 和 y 的偏导函数:
fr(x,j) = 3x? +4xyf,(x,J)=2x? -3y2.然后以 (x,J)=(1,3)代入,也能得到同样结果例3求函数z=x(x>0)的偏导数解把z=x依次看成幂函数和指数函数，分别求得OzOzy.xJ-1= x'Inxoyax例4 求三元函数u= sin(x + y2-e")的偏导数解把y和z看作常数，得到后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 2 ( , ) 3 4 , ( , ) 2 3 . x y f x y x x y f x y x y = + = − 然后以 (x, y) = (1, 3) 代入, 也能得到同样结果. 例3 求函数 ( 0) y z x x = 的偏导数. 解 把 y z x = 依次看成幂函数和指数函数, 分别求得 1 , ln . z z y y y x x x x y − = = 例4 求三元函数 2 sin( e )z u x y = + − 的偏导数. 解 把 y 和 z 看作常数, 得到
Qucos(x + y2 -e");ax把z,x看作常数,得到u = 2ycos(x+ y~ -e');ay把x,y看作常数,得到Qu= -e" cos(x+ y? -e").Oz后页返回前页
前页 后页 返回 2 cos( e ); u z x y x = + − 2 2 cos( e ); u z y x y y = + − 2 e cos( e ). u z z x y z = − + − 把 z , x 看作常数, 得到 把 x, y 看作常数, 得到