现让△x→0,由上式便得A的一个极限表示式A= = lim f(x + Ax,ye)- f(o,). (5)A = lim.AxAx→0 △xAx→0容易看出，(5）式右边的极限正是关于x的一元函数f(x,Jo)在x=x 处的导数类似地,在(4)式中令 △x=0 (△y≠0),又可得到Ayz= lim, I(xo, o + Av)- (o, o), (6)B = limAyAy-0 AyAy→0它是关于y的一元函数f(xo,)在y=yo处的导数二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自后页返回前页
前页 后页 返回 现让 由上式便得 的一个极限表示式 x A →0, 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim . x x x z f x x y f x y A x x → → + − = = (5) 容易看出, (5) 式右边的极限正是关于 x 的一元函数 0 0 f x y x x ( , ) . 在 处的导数 = 类似地, 在 式中令 (4) 0 ( 0), x y = 又可得到 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y B y y → → + − = = (6) 它是关于 y 的一元函数 0 0 f x y y y ( , ) . 在 处的导数 = 二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自
变量的导数称为该函数的偏导数，一般定义如下：定义 2设函数z=f(x,y),(x,y)eD, 且 f(x,y)在x.的某邻域内有定义.则当极限Arz= lim, I(xo +Ax,yo)- f(xo, o)(7)limAxAx→0 △xAx-→0存在时,称此极限为f在点(x,y)关于x的偏导数记作afazf.(xo,yo), 或0xax(xo,yo)(xo,yo)前页后页返回
前页 后页 返回 变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下: 0 x 的某邻域内有定义. 则当极限 存在时, 称此极限为 0 0 f x y 在点( , ) 关于x 的偏导数, 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . x x y x y f z f x y x x 或 0 定义 2 设函数 且 在 z f x y x y D f x y = ( , ), ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y x x → → + − = (7)
类似地可定义f在点(x,y)关于y的偏导数：lim, 会 = imS(xo, o +Ay) - I(xo.yo), (7)Ay-0 AyAyAy→0记作afazf,(xo,yo), 或oyl(xo,0)' Qy(xo,yo)a?注1 这里是专用于偏导数的符号，与一元ax'ayd函数的导数符号相仿，但又有区别dx前页后页返回
前页 后页 返回 类似地可定义 0 0 f x y 在点( , ) 关于 y 的偏导数: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y y y → → + − = (7) 记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . y x y x y f z f x y y y 或 注1 , x y 这里 是专用于偏导数的符号,与一元 d dx 函数的导数符号 相仿,但又有区别
注2 在上述定义中,在点(xo,Jo)存在对x(或y)的偏导数，此时f至少在((x,y) [y=yo,/x-x <)(或((x,) |x=xo,ly-yl<))上必须有定义.显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数若函数z=f(x,J)在区域D上每一点(x,)都存在对x(或对y)的偏导数,则得到 z= f(x,y)在 D上对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作后页返回前页
前页 后页 返回 注2 在上述定义中, 0 0 f x y 在点( , ) 存在对 x (或 y) 的偏导数 此时 至少在 , f ( , ) , | | x y y y x x = − 0 0 ( 或 上必须有定义 ( , ) , | | . x y x x y y = − 0 0 ) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数． 若函数 z f x y = ( , ) 在区域 D 上每一点 ( , ) x y 都存在 对 x (或对y)的偏导数, 则得到 z f x y = ( , ) 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
af(x,y)af(x,y)f.(x,y) 或或f,(xaxyafaf,3y, 或也可简单地写作fx，zx，或yax偏导数的几何意义：z=f(x,)的几何图象通常是三维空间中的曲面,设 P(xo,yo,zo)为此曲面上一点,其中 zo = f(xo,Jo). 过点 P 作平面 y=yo,它与曲面相交得一曲线：C: y=yo, z= f(x,y)后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , x y f x y f x y f x y f x y x y 或 或 , , , , . x x y y f f f z f z x y 也可简单地写作 或 或 偏导数的几何意义: z f x y = ( , ) 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 为此曲面上一 0 0 0 z f x y = ( , ) . 0 0 点, 其中 过点 作平面 它与 P y y = , 曲面相交得一曲线： 0 C y y z f x y : , ( , ). = =