微分方程离散化常用方法 令用差商代替微商 令数值积分 令 Taylor展开
❖用差商代替微商 ❖数值积分 ❖Taylor展开 微分方程离散化常用方法
A·用差商代替微商 lrm1) y(in) ≈ In y f(n,y(x,) n+1 用h=x n+ sy(x),yn≈y(xn)代替 n+ f(x h n+1 +的f(xn,yn)n=0,L,2
( ) ( ) ( ) 1 , 1 A ( , ( )) n n n n n n n n dy y x y x f x y x dx x x x y + + − = − 用差商代替微商 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , , 0, 1, 2, n n n n n n n n n n n n n n h y y f h x x y x y x y y x y y y x hf n y + + + + + = − − = = + = 用 代替， 则
B.用数值积分方法离散化 f(x,y)x(n=0,1,…) dx 用yn1,yn代替y(xn1)y(xn),对右端积分采用 取左端点的矩形公式 f(x,y)ax≈hf(xn,yn) 则有 n+1 hf(xn,yn)(n=0,1,…)
1 1 B. : ( , ) ( 0,1, ) n n n n x x x x dydx f x y dx n dx + + = = 用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y h x y f y n + + + + = = − 用 代替 对右端积分采用 取左端点的矩形公式 则有
用 n+15n 代替y(xn-,y(xn),对右端积分采用 取右端点的矩形公式 f(x, y)dx a hf(nl, y 则有 n+1 hf(xn+1,yn+)(n=0,1,…)
1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y y hf x y n + + + + − = = ＋ ＋ ＋ ＋ 用 代替 对右端积分采用 取右端点的矩形公式 则有
用yn1,yn代替y(xn1)2y(xn),对右端积分采用 梯形公式 f(r,ydx s olf(n, y,)+f(rm+l, ym+) 则有 n+1 If(n, y,)+f(rn+l, n+) (n=0,1,…)
1 1 1 1 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) 2 ( 0,1, ) n n n n n n x n n n n x n n n n n n y y y x y x h f x y dx f x y f x y h y y f x y f x y n + + + + + + = − = ＋ ＋ ＋ ＋ 用 代替 对右端积分采用 梯形公式 则有