三、保号性 定理2.4设iman=a,对于任意两个实数b,c, n®￥ b<a<c,则存在N,当n>N时，b<an<c. 证取e=min{a-b,c-a}>0,SN,当n>N时， b￡a-e<an<a+e￡c,故b<an<c. 注若a>0(或a<0,我们可取b=(或c-2, 则an>g>0(或an<g<0). 2 2 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因
前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 对于任意两个实数 b, c , 证 注 我们可取 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. , 则存在 N, 当 n > N 时
12二0. 例1证明im 证对任意正数目因为im Ie八=0，所以由 nR Y n! 定理2.4，$N>0,当n>N时， c1,即<e n! 这就证明了im:n 1 =0
前页 后页 返回 例1 证明 证 对任意正数 , 所以由 这就证明了 定理 2.4
四、保不等式性 定理2.5设{4n},{b}均为收敛数列，如果存在正 数N,当n>N。时，有an￡bn,则ima,￡limb n®￥ n®￥ 证设inm0,=a,imb,=h.若b<u,取e-a-b n®￥ n®￥ 2 由保号性定理，存在N>N。,当n>N时， 、4,a42“)Dbb+46=a+6 22 故an>bn,导致矛盾.所以a￡b. 前页
前页 后页 返回 四、保不等式性 定理 2.5 均为收敛数列, 如果存在正 证 所以
注若将定理2.5中的条件a,n￡bn改为am<bn, 也只能得到lima,￡limb, n⑧￥ n®￥ 这就是说，即使条件是严格不等式，结论却不一定 是严格不等式. 例如，虽然}会但四}m子=0. n®￥几n®￥n
前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然
五、迫敛性（夹逼原理) 定理2.6设数列{an},{bn}都以a为极限，数列{cn} 满足：存在N,当n>N。时，有an￡cn￡bn,则 {cn}收敛，且imcn=a. n®Y 证对任意正数e,因为lim,=limb,=a,所以分 R n®Y 别存在N,N,使得当n>N,时，a-e<am; 当n>N,时，bn<a+e.取N=max{No.N,N2}, 当n>N时，a-e<an￡cn￡bn<a+e.这就证得 前页
前页 后页 返回 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 都以 a 为极限, 证 对任意正数 所以分 这就证得 满足: 存在 则