北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第5章 定积分 第6节 定积分在几何学上的应用

X- 例5.6.3求椭圆 =1所围图形的面积 o< 解：利用对称性，有dA=ydx 4=4ydx 利用椭圆的参数方程 xx+dya x [x =acost y=bsint (0≤t≤2π) 应用定积分换元法得 A=4bsint(-asint)dt =4absin2tdr =4ab}子=元ab 当a=b时得圆面积公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 页 返回 结

目录 上页 下页 返回 结束 a b 例5.6.3 求椭圆 解: 利用对称性 , d A  y dx 所围图形的面积. 有   a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2π) sin cos     t y b t x a t 应用定积分换元法得   2 π 0 2 4ab sin t dt  4ab 2 1  2 π   π ab 当 a = b 时得圆面积公式 x x  d x x y O

一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值1,2 a (t1对应x=a) (t对应x=b) 则曲边梯形面积4=」v()o'(0d BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积

2.极坐标情形 设p(0)∈C[a,p],p(0)≥0，求由曲线p=p(0)及 射线0=α，0=B围成的曲边扇形的面积 在区间[，B]上任取小区间[0,0+d0] 侧对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d4-ao =0(0) 所求曲边扇形的面积为 A-jSoi(Od0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 .  ()   d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A  所求曲边扇形的面积为      ( )d 2 1 2  A   O x

例5.6.5计算阿基米德螺线p=a0(a>0)对应0从0变 到2π所围图形面积 解：A=02a0户d0 2L4, x 引9] 4元2a2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.5 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 解:  d (  ) d 2 1 2 a   2π 0 A 2 2 a        3 3 1  0 2π 3 2 π 3 4  a 到 2 所围图形面积 . 2 π a O x

例5.6.6计算心形线p=a(1+cos0)(a>0)与圆p=3acos0 所围图形共同部分的面积. 心形线 解：求山内图形的父点为：以空晋C s=2S-5iau+eow0ya0+5aomord0 -o〔0+2s6+cos22d0:a 1+cos2 _do 2 2 5 B o=3acos 0 a p=a(1+cosθ) 4 2a 3a x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.6.6 计算心形线 与圆 所围图形共同部分的面积. 解: 求出两图形的交点为：            2 3 3 2 0 2 2 (3 cos ) d 2 1 (1 cos ) d 2 1 2    a   a   S  2S1         d 2 1 cos 2 )d 9 2 1 cos 2 (1 2cos 2 3 3 2 0 2         a a 心形线 ) 3 , 2 3 ), ( 3 , 2 3 (    a C a B