注意：定理2的逆定理不成立.即 偏导数存在函数不一定可微！ 反刷：函数八 x2+y2≠0 x2+y2=0 易知fx(0,0)=f,(0,0)=0,但 △z-[f(0,0)Ax+f,(0,0)△]= △x△y A+(A) △x△y △x△ V(△x2+(△)2p△x)2+(△y2 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y] − x + y o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理2 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y + = 2 2 ( x) ( y) x y + = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 + + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y =
定理3（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 0z ax'∂y 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 证：△x=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)] +[f(x,y+△y)-f(x,y)] =fx(x+OAx,y+△y)Ax+fy(x,y+O2Ay)△y 0<0,02<1) =[fx(x,y)+&lAx +[fy(x,y)+52]Ay m6=0m82=0 △x->0 △x→0 △y→0 △y>0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -x 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 =[ f (x + x, y + y) ] 定理3 (充分条件) y z x z , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1 2 f x y x = [ x ( , ) + ] f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分. 1 2 lim 2 0 0 0 = → → y x lim 0, 1 0 0 = → → y x