拉氏变换习题解答 习题 求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果 (1)f()=sin:(2)f(t)=e2;(3)f()=t2:(4)f()= sin t coSt (5)f()=sinh kt: (6)f(=coshkt: (7)f()=cos t; (10)f()=cost 解)df(O)=-lsin2e-"b= e -s+1 2 S+ 2 2 (5 (2)e[/(]=e"2le"dt= e-0+2dt Res>-2 -(S+2)s+2 (3)a[(o]=t'e"dr + 2te- dt 2+ dt 2 (4)sf(r) sin t cos tedt sin 2te dt= 6d-shoch2C-c“m={h-c) {k k stk
拉氏变换习题解答 习题一 1．求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果. (1) ( ) sin 2 t f t = ； (2) ( ) 2t f t e− = ； (3) ( ) 2 f t = t ； (4) f ( )t = sin t cost ； (5) f ( )t = sinh kt ； (6) f ( )t k = cosh t ； (7) ( ) 2 f t = cos t ; (10) ( ) 2 f t t = cos . 解 (1) & ( ) i i 2 2 0 0 ( ) sin 2 2i t t st st t e e e f t e dt dt − − +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ i i ( ) ( ) 2 2 0 1 ( ) 2i s t s t e e dt +∞ − − − + = − ∫ i i ( ) ( ) 2 2 1 0 0 2i i i 2 2 | | s t s t e e s s ⎡ − − +∞ + − + ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ − + − − ⎥ ⎣ ⎦ i i 1 1 1 1 2 2 2i i i 2i i i 2 2 2 2 s s s s s s ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ = ⎛ ⎞⎛ ⎢ ⎥ − + ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ( ) 2 2 1 2 2 Re 0 1 4 1 4 s s s = = > + + (2) & ( ) 2 ( 2) 0 0 t st s t f t e e dt e +∞ +∞ − − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ dt ( ) ( 2) 0 1 Re 2 ( 2) 2 | s t e s s s +∞ − + = = > − + + − (3) & ( ) 2 2 0 0 0 1 | 2 st st e st f t t e dt t te dt s s − +∞ +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 2 | st st te e dt s s +∞ +∞ − − = − + ∫ ( ) 3 2 0 2 2 | Re 0 st t e s s s +∞ − = = − = > (4) & ( ) 0 0 1 sin cos sin 2 2 st st f t t te dt te dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( 2i) ( 2i) 0 1 4i s t s t e e dt +∞ − − − + = ⎡ ⎤ − ∫ ⎣ ⎦ ( ) ( )⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − = +∞ − + +∞ − − 4i 2i 2i 1 | | 0 ( 2i) 0 ( 2i) s e s e s t s t ( ) Re 0 4 1 2i 1 2i 1 4i 1 2 > + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = s s s s (5) & ( ) 0 0 sinh 2 kt kt st e e st f t kte dt e dt − +∞ +∞ − − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = − − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re max{ , } 2 k s k s k s k s k ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k - 1 -
(6)[5()]= cosh kte"dt=J. -(s-k)r (s+k) 1 (S+ k s-ks+k丿s2-k2 (Res> max(k,-k) o(-9h=2(+l2b COS 2r.e-5 ss2+4丿s(s2+4) s()-5sn"th=20(-c02y cos 2t-e dt 2、ss2+4丿s(s2+4) (Res>o 2.求下列函数的拉氏变换 (1)f()= 2≤t<4 丌 (3)f()=e2+56() (4)f(o=8()cost-ufo)sint (2)alo]=b f(e "dr =f 3e"dt+[coste"dr ,2 3_3e2 (s-1)-(s+1) S+1 (3)(=[p2+6}-d=C"e°e"d+5[3)d 5s-9 (4)<[(]=8() cost.e"dt- sin te"dt=cost e" s2+1s2+1 设f()是以2为周期的函数且在一个周期内的表达式为 ()={m,0≤x,求Li
(6) & ( ) 0 0 cosh 2 kt kt st e e st f t kte dt e dt − +∞ +∞ − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = + − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re max{ , } 2 s s k s k s k s k ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k (7)& ( ) ( ) 2 0 0 1 cos 1 cos 2 2 st st f t t e dt t e dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ∫ ∫ +∞ − +∞ − e dt t e dt st st 0 0 cos 2 2 1 ( ) Re 0 ( 4) 2 4 1 2 1 2 2 2 > + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + s s s s s s s (8)& ( ) ( ) 2 0 0 1 sin 1 cos 2 2 st st f t t e dt t +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ e dt ( 0 0 ) 1 cos 2 2 st st e dt t e dt +∞ +∞ − − = − ⋅ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 2 Re 0 2 4 ( 4) s s s s s s ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = > ⎝ ⎠ + + 2．求下列函数的拉氏变换. (1) ( ) ; (2) ( ) 4. 2 4 0 2 0, 1, 3, ≥ ≤ < ≤ < ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − t t t f t . 2 2 cos , 3, π π > < ⎩ ⎨ ⎧ = t t t f t (3) ( ) 5 ( ).; (4) 2 f t e t t = + δ f (t) = δ (t)cost − u(t)sin t. 解 （1） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − +∞ − − = = − 4 0 2 2 0 f t f t e dt 3e dt e dt st st st (3 4 ) 1 3 3 2 4 4 2 2 0 | | s s st st e e s s e s e − − − − + = − + − = （2）&[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ +∞ − − +∞ − = = + ⋅ 2 2 0 0 3 cos π st π st st f t f t e dt e dt t e dt ∫ +∞ − − = − + + − = 2 i i 2 0 2 3 | π π e dt e e e s st t t t st ∫ +∞ − − − + − = − + + 2 2 ( i) ( i) ( ) 2 3 3 1 π π e e e dt s s s t s t s ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − − = − + +∞ = − + +∞ = − − − 2 ( i) ( i) 3 3 1 | | 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s t s t t s t πs π π ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − + − − − + − 2 i i 3 3 1 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s s s s π π π 2 2 2 1 3 3 1 s s e s e s s π π − − + = − − （3） &[ ] f ( )t [ ] e t e dt e e dt ( )t e dt t st t st −st +∞ +∞ − +∞ − ∫ ∫ ∫ = + = + 0 0 2 0 2 5δ ( ) 5 δ ( ) 2 5 9 5 2 1 5 2 1 | 0 − − + = − + = − = = − − +∞ ∫−∞ s s e s t e dt s t st st δ （4）& ( ) ( ) 0 cos sin st st f t δ t t e dt te dt +∞ +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ − ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 0 | + = + = − + = ⋅ − = − s s s s t e t st 3．设 f (t)是以 2π 为周期的函数,且在一个周期内的表达式为 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < < < ≤ = π π π 2 0 0, sin , t t t f t ，求&[f (t)]. - 2 -
解周期为T的函数f()的拉氏变换为 因此有 o)=-e=-kh=1-e=mrc“b 1-e)x1-e(x+)x c2i(-1+1)i-es+1-“)+ 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 4b t f() f() 4a5 解(1)由图易知f(是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 f()=t,0≤t<b 由公式 1+bs b s2 sl-e-bo) (2)已知f()是周期T=x的周期函数在一个周期内 sin t 0≤t<丌 由公式
解 周期为 T 的函数 f ( )t 的拉氏变换为 &[ ] ( ) ( ) ,(Re 0) 1 1 . 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st sT 因此有 &[ ] ( ) ( ) t e dt e f t e dt e f t st s st s − − − − ⋅ − = − = ∫ ∫ π π π π 0 2 2 0 2 sin 1 1 1 1 ∫ − − − − − = π π 0 i i 2 1 2i 1 e dt e e e st t t s ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − ⋅ − = = − + = − − − 2 i i i 1 1 1 | | 0 ( i) 0 ( i) 2 s e s e e t s t t s t s π π π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − − ⋅ − = − − − + − i 1 i 1 2i 1 1 1 ( i) ( i) 2 s e s e e s s s π π π ( ) 1 ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 − + = + + − = − − − s e s e e s s s π π π 。 4.求下列各图所示周期函数的拉氏变换 (1) (2) O π t 2π f t( ) f (t) b O b 2b 3b 4b t (3) (4) f ( )t 1 O 4a 5a t 2a 3a a -1 t 5b f (t) b 2b 3b 4b 1 O -1 解 (1)由图易知 f (t)是周期为b 的函数,且在一个周期内的表达式为 f (t) = t, 0 ≤ t < b 由公式 &[ ] ( ) ∫ − − − = b st bs te dt e f t 1 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ∫ − − − b st b bs bs e dt s te e s 0 0 1 1 1 1 | ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − − − 1 1 1 1 2 bs bs bs e s s be e 2 1 1 1 s bs bse e bs e bs bs bs − + − − ⋅ − = − − − ( ) bs s e b s bs − − − + = 1 1 2 (2)已知 f ( )t 是周期T = π 的周期函数,在一个周期内 f t( ) = sin t, 0 ≤ <t π 由公式 - 3 -
e[(]=,-bsJo sin te"dr (3)由图可知f()是周期T=4a的周期函数在一个周期内 a<t 0,3a 由公式 clfo dt 1b"dr 11-e tanh d 1+e s(l+e (4)由图易知,f()是周期为2b的周期函数在一个周期内 由公式 0-x“h=-(-+)“ -bs⊥a-2b-b e+e 习题二 求下列函数的拉氏变换式 (1)f(t)=t2+3+2 (2)f()=1-e (3)f()=(-1)e (4)f(=sin at (5)f(0=tcosat (6)f(=sin 2r
& ( ) 0 1 sin 1 st bs f t te dt e π − − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ − ∫ 2 1 1 1 1 s s e e s π −π + = − + 2 1 coth 1 2 s s π = + (3)由图可知 f ( )t 是周期T = 4a 的周期函数,在一个周期内 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < − = a t a a t a a t a t a f t 3 4 2 3 2 0 0, 1, 0, 1, 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = a st as f t e dt e f t 4 0 4 1 1 ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − = − − − ∫ ∫ e dt e dt e st a a a st as 3 0 2 4 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = = − = − − s e s e e a t a st a t st as 3 0 2 4 1 1 s e e e e as as as as 3 2 4 1 1 1 − − − − − + − ⋅ − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) as as as as as as as s e e e e s e e e − − − − − − − + + − + = − − − = 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 1 1 as as as as e as s e e s e − − − − − = ⋅ = + + + (4)由图易知, f (t)是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ < ≤ < = b t b t b f t 1, 2 1, 0 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = b st bs f t e dt e f t 2 0 2 1 1 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ∫ ∫ − − − b st b b st bs e dt e dt e 0 2 2 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = − = − − s e s e e b t b st b t st bs | | 2 0 2 1 1 s e e e e bs bs bs bs − − − − − + − ⋅ − = 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 2 bs bs e bs s e s − − − = ⋅ = − 习题二 1．求下列函数的拉氏变换式. （1） ( ) 2 f t t = + 3t + 2 （2） ( ) t f t = 1− te （3） ( ) 2 ( 1) t f t t = − e （4） ( ) at t f t sin 2α = （5） f ( )t t = cos at （6） f (t) = 5sin 2t − 3cos 2t - 4 -
(7)f(=e-27sin 6t (8)f(1)=ecos4 (9)f()=r"e (10)f()=u(3t-5) (11!y)=-e-) (12)f() 解(1)利用< d)-2+3+21-oh]+312|+2c (2)cf ,(1)-p (3)-d[u-1a]=d2-2+0]=l+24l+el s+a (5)e(]=a[t coat/ =a ds l coat ]=-5 s2 (s2+a2)2 (6)<[f()=c5sn2-3cos2]-5cin2]-3os2] 10 4s2+4s-+4 (7)w)-de'sin67] (s+2)2+36 这里有 eosin 6r] 6 s2+36 再利用位移性质得到 (8)同(7)利用os4小 及位移性质 s2+16 f(I 4 (9)利用]=m及位移性质得 ezl(]=ex/]=nl
（7） f ( )t = e−2t sin 6t （8） ( ) 4 cos 4 t f t e− = t （9） f ( )t = t n eαt （10） f (t) = u(3t − 5) （11） f ( )t = u(1− e−t ) （12） ( ) t e f t 3t = 解（1）利用&[ ] ( ), 1 1 1 > − Γ + = + α α α α s t ， &[f ( )t ] = & & 2 ⎡ ⎤ t t + + 3 2 = ⎣ ⎦ 2 ⎡t ⎤ + 3 ⎣ ⎦ & 3 2 t 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ &[1] 3 2 2 3 2 s s s = + + （2）&[f ( )t ] = &[ ] − = & & t 1 te [ ]1 − [ ]t te ds d s = + 1 &[ ] ( )2 ' 1 1 1 1 1 1 − ⎟ − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − s s s s et （3）&[f ( )t ] = & & 2 ( 1) t ⎡ ⎤ t − = e ⎣ ⎦ 2 ( 2 1) t ⎡ t t − + e ⎤ = 2 2 d ds &[ ] ＋2 t e d ds &[ ]＋&[ ] t e t e ⎣ ⎦ 2 3 4 5 ( 1) s s s − + = − （4）&[f ( )t ] = & a at a t 2 1 sin 2 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ &[tsin at] ds d 2a 1 = − &[sin at] 2 2 2 2 1 ' 2 ( a s a s a s a ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 ) （5）&[f ( )t ] = &[t a cos t] = － d ds &[cos at] 2 2 2 2 2 2 ' ( ) s s s a s a ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 a （6）&[f ( )t ] = &[5sin 2t − 3 cos 2t]=5&[sin 2t]− 3&[cos 2t] 4 10 3 4 3 4 10 2 2 2 + − = + − + = s s s s s （7）&[f ( )t ] = & 2 2 6 sin 6 ( 2) 36 t e t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + 这里有 &[ ] 36 6 sin 6 2 + = s t 再利用位移性质得到. （8）同（7）利用&[ ] 16 cos 4 2 + = s s t 及位移性质 &[f ( )t ] = & ( ) 4 2 4 cos 4 4 1 t s e t s − 6 + ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + （9）利用&[ ] 1 ! + = n n s n t 及位移性质得 &[f (t)] = &[ ] ( ) 1 ! + − = n n at s a n t e - 5 -