习题一解答 1.求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角 (2) (3)+4)2-5):(4);-4121+i 3+2i 21 2i(3+2i)3-2)13 所以 3 2 R (3+2i) A arctan-+2k,k=0±1,土 X1+i) 所以 13il3 Gi1-i=-2 kx,k=0,±1,±2, (3)(3+4)2-5)2(3+41)2-51-2)=26-7)-2 21 (2i)-2) 所以 ∫(3+4)2-5)1
习题一解答 1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1） 3 2i 1 + ； （2） 1 i 3i i 1 − − ； （3）( )( ) 2i 3 + 4i 2 − 5i ； （4）i 4i i 8 21 − + 解 （1） ( )( ) ( ) 3 2i 13 1 3 2i 3 2i 3 2i 3 2i 1 = − + − − = + 所以 13 3 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ 3 + 2i 1 Re ， 13 2 3 2i 1 Im = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + , ( ) 3 2i 13 1 3 2i 1 = + + ， 13 13 13 3 13 3 3 2i 1 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ， 2kπ 3 2i 1 arg 3 2i 1 Arg ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 , 0, 1, 2," 3 2 = −arctan + kπ k = ± ± （2） ( ) ( ) ( ) ( ) i, 2 5 2 3 3 3i 2 1 i 1 i (1 i) 3i 1 i i i i 1 i 3i i 1 = − − − + = − − + + − − − = − − 所以 , 2 3 1 i 3i i 1 Re = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − 2 5 1 i 3i i 1 Im = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − 2 5 i 2 3 1 i 3i i 1 ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ， 2 34 2 5 2 3 1 i 3i i 1 2 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ， 2kπ 1 i 3i i 1 arg 1 i 3i i 1 Arg ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − + 2 , = 0,±1,±2," 3 5 arctan kπ k . （3） ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 26 7i 2i 2i 2i 3 4i 2 5i 2i 2i 3 4i 2 5i − − = − + − − = + − 13i 2 7 2 7 26i = − − − − = 所以 ( )( ) 2 7 2i 3 4i 2 5i Re = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ， ( )( ) 13 2i 3 4i 2 5i Im = − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − ， 1
2 3+4i2-5i)_5√29 +41)2-51mg[+4)2-5 +2kr=2 arctan 丌+2k汇 arctan2+(2k-1lx,k=0,±1± (4)-42+i=()-4)i+1=(-1)-4(-1+i 所以 Re8-42+1=.lm4-42+i} ,|i3-4121+i=√10 g-2)=ag4-41+2x=ag-3)+2kx 0,±1,+2, 2.如果等式x+1+1(-32=1+1成立,试求实数xy为何值。 解:由于 x+1+y-3)+1+iy-3)5-3) 5+3i 5(x+1)+3(y-3)+3(x+1)+5(y-3 8) 比较等式两端的实、虚部,得 或 3x+5y-18=34-3x+5y=52 解得x=1,y=11l 3.证明虚单位i有这样的性质:-i== 证明 1)=F=z2 6)Re(-)=(+,Im(二)
( )( ) l3i 2 7 2i 3 4i 2 5i ⎥ = − + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ( )( ) 2 5 29 2i 3 4i 2 5i = + − ， ( )( ) ( )( ) kπ π 2kπ 7 26 2 2 arctan 2i 3 4i 2 5i arg 2i 3 4i 2 5i Arg + = − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ( ) 2 1 , 0, 1, 2," 7 26 = arctan + k − π k = ± ± . （4）i 4i i (i ) 4(i ) i i ( ) 1 4( ) 1 i i 8 21 2 4 2 10 4 10 − + = − + = − − − + = 1− 4i + i = 1− 3i 所以 Re{i 4i i} 1,Im{i 4i i} 3 8 21 8 21 − + = − + = − i 4i i 1 3i 8 21 ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ，| i 4i i | 10 8 21 − + = Arg(i 4i i) arg(i 4i i) 2kπ arg(1 3i) 2kπ 8 21 8 21 − + = − + + = − + = −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,". 2．如果等式 ( ) 1 i 5 3i x 1 i y 3 = + + + + − 成立，试求实数 x, y 为何值。 解：由于 ( ) [ ( )]( ) ( ) 5 3i (5 3i) x 1 i y 3 5 3i 5 3i x 1 i y 3 + − + + − − = + + + − ( ) ( ) [ ( ) ( )] 34 5 x +1 + 3 y − 3 + i − 3 x +1 + 5 y − 3 = [ ] 5x 3y 4 i( ) 3x 5y 18 1 i 34 1 = + − + − + − = + 比较等式两端的实、虚部，得 ⎩ ⎨ ⎧ − + − = + − = 3 5 18 34 5 3 4 34 x y x y 或 ⎩ ⎨ ⎧ − + = + = 3 5 52 5 3 38 x y x y 解得 x = 1, y = 11。 3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i-1= i 。 4．证明 2 1) | | 1 1 6)Re( ) ( ),Im( ) ( ) 2 2i z zz z z z z z = = + = z # − 2
证明:可设z=x+jy,然后代入逐项验证 5.对任何2,z2=z是否成立?如果是,就给出证明。如果不是,对z那些 值才成立 解:设z=x+jy,则要使z2=|成立有 即x +y2,xy=0。由此可得z为实数。 6.当|=k1时,求|=”+a|的最大值,其中n为正整数,a为复数。 解:由于”+4P+151+a,且当二=e”时,有 故1+|a|为所求。 8.将下列复数化成三角表示式和指数表示式 (4)1-coso+inp(≤q≤π) (5) 21 (6) -1+1 (cos3p-isin3 解:(1) (2)-1=cos丌+isinπ=eI (4)1 2sin2g+isin 25 smn—+lcos (0≤q≤兀) 2 (cos3p-isin3p)
证明：可设 z x = + iy ，然后代入逐项验证。 5．对任何 ， 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 那些 值才成立？ z 2 z =| z | 2 2 2 z 解：设 z x = + iy ，则要使 成立有 2 z =| z | 2 2 2 x − + y x 2i y = x + y ，即 0。由此可得 为实数。 2 2 2 2 x y − = x + y , xy = z 6．当| z |≤ 1时，求| z n + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。 解：由于 z a |z| |a| |a| n n + ≤ + ≤ 1+ ，且当 n a z e arg i = 时，有 z a| e |a|e ( ) a e |a| a a n n a n + = + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ | + = 1 1 i arg i arg arg i 故1+ | a | 为所求。 8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 （1）i； （2）-1； （3）1+ 3 i； （4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π)； （5） 1 i 2i − + ； （6）( ) ( )3 2 cos3 isin3 cos5 isin5 ϕ ϕ ϕ ϕ − + 解：（1） 2 π i e 2 π isin 2 π i = cos + = ； （2） iπ −1 = cosπ + isinπ = e （3） 3 π i 2e 3 π isin 3 π 2 cos 2 3 i 2 1 1 i 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = + ； （4） 2 1 cos isin 2sin i2sin cos 2sin sin icos 2 2 2 2 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ⎛ ⎞ − + = + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ e ,(0 π) 2 2sin 2 π isin 2 π cos 2 2sin 2 π i ⎟ = ≤ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ； （5） ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − = − = − − + 2 1 i 2 1 2i 1 i 1 i 2 2 1 1 i 2i ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 4 π isin 4 π 2 cos = 4 π i 2e − （6） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 i5 i3 i10 i9 i19 3 cos5 isin5 e / e e /e e cos3 isin3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + − − = = − ϕ = 3
9.将下列坐标变换公式写成复数的形式 x=x+a 1)平移公式: y=y+b x cosa-yI sin a, 2)旋转公式 y=x, sina+ y, cos a 解:设A=a1+i,1=x1+,z=x+jy,则有 1)2==1+A: 2)===(cos a+isin a)==e 10.一个复数乘以-i,它的模与辐角有何改变? 解:设复数二==|e,则x(-)=11ee2=e 可知复数的模不变, 辐角减少z。 1l.证明:|=1+2P+|21-2P=2(=1P+|=2),并说明其几何意义。 证明:|=1+2P+| (二1+=2(1+2)+(=1-2(=1-2) 2(=1=1+2=2) 2(=1|+|=2P) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和 12.证明下列各题 1)任何有理分式函数R(z) P(=) 可以化为X+iY的形式,其中X与Y为具 2(=) 有实系数的x与y的有理分式函数 2)如果R(二)为1)中的有理分式函数,但具有实系数,那么R(三)=X-iY 3)如果复数a+ib是实系数方程 n-+…+anz+an=0 的根,那么a-ib也是它的根。 证1)R(=)= P(=)P(=)Q(=)Re(P(=)Q(=).Im(P(=)Q(二) Q(=)Q(=)Q(二) qx, y) 2)R(2)sP(2)_P(=)P(=) =X+i=X-Iy Q=)Q()(Q() 3)事实上
= cos19ϕ + isin19ϕ 9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式： 1 1 1 1 , ; x x a y y b ⎧ = + ⎨ ⎩ = + 2）旋转公式： 1 1 1 1 cos sin , sin cos . x x y y x y α α α α ⎧ = − ⎨ ⎩ = + 解：设 1 1 A a = + ib ， 1 1 z x iy = + 1 ， z x = + iy ，则有 1） z z = 1 + A；2） i 1 1 z z (cos isin ) z e α = + α α = 。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数 z =| z | eiArg z ，则 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − =| | ⋅ = 2 i Arg 2 i iArg π z π z z i z e e |z|e ，可知复数的模不变， 辐角减少 2 π 。 11．证明： ，并说明其几何意义。 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | z z + + | z − z | = 2(| z | + | z 2 | ) 证明： 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 | | | | ( )( ) ( )( 2( ) 2(| | | | ) z z z z z z z z z z z z z z z z z z + + − = + + + − − = + = + ) 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 ( ) ( ) ( ) P z R z Q z = 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具 有实系数的 x 与 y 的有理分式函数； 2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R( ) z X = −iY ； 3）如果复数a + ib 是实系数方程 1 0 1 1 0 n n n n a z a z a z a − + + + " − + = 的根，那么 a − ib 也是它的根。 证 1） ( ) ( ) ( ) Re( ( ) ( )) Im( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) P z P z Q z P z Q z P z Q z R z Q z Q z Q z q x y q x y = = = + ; 2） ( ) ( ) ( ) ( ) i i ( ) ( ) ( ) P z P z P z R z X Q z Q z Q z ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ = + Y = − X Y ⎝ ⎠ ; 3）事实上 ( ) 1 0 1 1 n n P z n n a z a z a z a − = + +"+ − + 4
=a0+a2+a2x2+…+an="=P( 13.如果z=e",试证明 (1)zm+=2c 2isin nt (2) 14.求下列各式的值 (1)5-:(2)(+):(3)=1:(4) 解(1)( √3 22 16√3-16i 6 (3)y-1=(e)=ex+)k=0,1234,5。可知y1的6个值分别是 √3 可知(1-i)的3个值分别是 7丌 cOS-+Isin 15.若(1+i)=(1-i)”,试求n的值
a a z a z a z P(z) n = + + +"+ n = 2 0 1 2 13．如果 z = eit ，试证明 （1） nt z z n n 2cos 1 + = ； （2） nt z z n n 2isin 1 − = 解 （1） e e e e nt z z n n 2sin 1 int int int int + = + = + = − （2） e e e e nt z z n n 2isin 1 int int int int − = − = − = − 14．求下列各式的值 （1）( 5 3 − i) ； （2）( ) 6 1+ i ； （3）6 −1 ； （4）( ) 3 1 1− i 解 （1）( ) ( ) i5 / 6 5 i / 6 5 5 2 32 2 i 2 3 3 i 2 − π − π = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − e e 5π 5π 32 cos isin 16 3 16i 6 6 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − = − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （2）( ) ( ) 6 6 6 1 i i /4 3 i/2 1 i 2 2e 8e 8i 2 2 π π ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ + = + = = = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ 。 （3） ( ) ( ) 1 6 iπ+2 iπ 2 1 /6 6 1 e e , 0,1,2,3,4,5 k k k π + − = = = 。可知 6 −1 的 6 个值分别是 , 2 i 2 3 ei /6 = + π e i i /2 = π ， 2 i 2 3 eii5 /6 = − + π 2 i 2 3 ei7 /6 = − − π ，ei3π/2 = −i ， 2 i 2 i11 4 3 = − π/ e 。 （4）( ) ⎥ = ( ) = , = 0,1,2 ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 − 2 1 1− = 2 ⎟ 3 ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 3 1 − / 3 1 3 1 e e k kπ π π 2 4 i i 4 6 2 2 i i 。 可知( ) 的 3 个值分别是 1/3 1 i − , 12 7 isin 12 7 2 2 cos , 12 isin 12 2 2 cos 6 i7 /12 6 6 i / 2 6 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − π π π π π π e e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 4 5 isin 4 5 2 2 cos 6 i5π / 4 6 π π e 。 15．若(1 i) (1 i) n n + = − ，试求 n 的值。 5