构成的行列式 称为方阵A的行列式,记为|A 方阵A的行列式的性质: IAHAI (2)|k=k"|4,其中A为n阶方阵 (3)|ABFAIB 7.逆矩阵的定义及其性质 逆矩阵的定义:设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B使 AB= BA=I 则称A是可逆矩阵,简称A可逆,并称B是A的逆矩阵,记为B=A 逆矩阵的性质: 若以下的逆矩阵都是存在的,则有 (1)(A) (2)(k小-。1 (3)(AB)=Bf 一般地,(42…4,)=A1…42x
= n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 构成的行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为方阵 A 的行列式, 记为 | A | . 方阵 A 的行列式的性质： （1） | A | | A | T = （2） | kA| k | A | n = , 其中 A 为 n 阶方阵 （3） | AB |=| A | | B | 7. 逆矩阵的定义及其性质 逆矩阵的定义：设 A 是 n 阶方阵, 如果存在一个 n 阶方阵 B, 使 AB = BA = I 则称 A 是可逆矩阵, 简称 A 可逆, 并称 B 是 A 的逆矩阵, 记为 −1 B = A . 逆矩阵的性质： 若以下的逆矩阵都是存在的, 则有 （1） A = A −1 −1 ( ) （2） ,( 0) 1 ( ) 1 1 = − − A k k kA （3） 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 一般地, 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ( ) − − − − − − A A As = As As A A
(4)(4)y=(x) IAH (5) A 方阵A可逆的条件: 方阵A可逆的充分必要条件是|AF≠0;在A可逆时,A的逆矩阵唯一 8.伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 设n阶方阵为 则称方阵 A A 是A的伴随矩阵,记为.其中A是A的行列式中元素a的代数余子式 因为 AA'=AA=A|1,故 (A=A|A-) 9.矩阵的初等变换 (1)用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素 (2)矩阵中某两行元素互换位置 (3)矩阵某一行元素的k倍加到另一行 以上三种变换都称为矩阵的初等行变换将上面(1)、(2)、(3)中的“行”全换成“列 就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换
（4） T T (A ) (A ) −1 −1 = （5） | | 1 | | 1 A A = − 方阵 A 可逆的条件： 方阵 A 可逆的充分必要条件是 | A | 0 ；在 A 可逆时, A 的逆矩阵唯一. 8. 伴随矩阵的定义及其与逆矩阵的关系 设 n 阶方阵为 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 则称方阵 n n nn n n A A A A A A A A A 1 2 21 22 2 11 21 1 是 A 的伴随矩阵, 记为 A*.其中 Aij是 A 的行列式 | A | 中元素 aij的代数余子式. 因为 AA A A | A | I * * = = , 故 ( | | ) | | −1 1 * * −1 = A A = A A A A 9. 矩阵的初等变换 （1）用非零的常数乘矩阵的某一行的全部元素； （2）矩阵中某两行元素互换位置； （3）矩阵某一行元素的 k 倍加到另一行. 以上三种变换都称为矩阵的初等行变换.将上面（1）、（2）、（3）中的“行”全换成“列”, 就是矩阵的列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换
10.初等矩阵 对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即 P(i(k)) (第行) 第i列 P(,) (第行) 0 (第行) P(,f(k,))= (第j行)
10. 初等矩阵 对单位矩阵任作一次初等变换得到的矩阵就称为初等矩阵.即 第 列 第 行 i P i k k i ( ) 1 1 1 1 ( ( )) = ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 ( , ) 第 行 第 行 j i P i j = ( ) ( ) 1 1 1 1 ( , ( ,)) 第 行 第 行 j i k P i j k r =
P(i,八(k) (第f行)(第f行) 11.利用初等变换求矩阵A的逆矩阵 由于可逆矩阵A可以经过有限次初等变换化为单位矩阵故求A的逆矩阵的方法为 (A1)-换(1x-) 初等行变换 12.矩阵的秩 在m×n矩阵A中,位于任意取定的k行和k列(1 <k<min{m,m)交叉点上的k2个元 素,按原来的相对位置组成的k阶行列式就称为A的一个k阶子式矩阵A的非零子式的最 大阶数称为A的秩,记为R(A 13.矩阵秩的性质及运算后的变化 (1)R(A)=n,当A是n阶可逆矩阵时 (2)R(A)=R(A (3)K(A4)smn{mm,其中A是m×n矩阵 0k=0 R(kA (4) R(A)k≠0 (5)R(4)=R(P4)=R(PQ)=R(Q),其中P、Q都是可逆矩阵
( ) ( ) 1 1 1 1 ( , ( )) 第i行 第j行 k P i j k c = 11. 利用初等变换求矩阵 A 的逆矩阵 由于可逆矩阵 A 可以经过有限次初等变换化为单位矩阵.故求 A 的逆矩阵的方法为 ( ) ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ −1 A I I A 初等行变换 或 ⎯⎯⎯⎯⎯→ -1 A I I A 初等行变换 12. 矩阵的秩 在 mn 矩阵 A 中, 位于任意取定的 k 行和 k 列 (1 k min{n,m}) 交叉点上的 k 2 个元 素, 按原来的相对位置组成的 k 阶行列式就称为 A 的一个 k 阶子式.矩阵 A 的非零子式的最 大阶数称为 A 的秩, 记为 R(A). 13. 矩阵秩的性质及运算后的变化 （1） R(A) = n , 当 A 是 n 阶可逆矩阵时； （2） R(A ) R(A) T = ； （3） R(A) min{n,m} , 其中 A 是 mn 矩阵； （4） = = ( ) 0 0 0 ( ) R A k k R k A ； （5） R(A) = R(PA) = R(PAQ) = R(AQ) , 其中 P、Q 都是可逆矩阵；
(6)R(A+B)≤R(A)+R(B): (7) R(AB)smn( R(A), R(B)) 14.利用初等变换求矩阵的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩,因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵,此时不 为零的行的行数就是原矩阵的秩 15.矩阵A与B等价 如果矩阵B可由A经过初等变换得到,则称A与B等价 16.分块矩阵 以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加 数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时,可把它化为对对角线上的子 矩阵求逆 三、典型例题 (一)矩阵运算 例1设x是实n×1矩阵,试证 (1)XX≥0 (2)XX=0的充要条件是x=0 证(1)设 X 则X=(a1a2,…an),于是
（6） R(A + B) R(A) + R(B) ； （7） R(AB) min{R(A), R(B)} . 14. 利用初等变换求矩阵的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩, 因此可利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵, 此时不 为零的行的行数就是原矩阵的秩. 15. 矩阵 A 与 B 等价 如果矩阵 B 可由 A 经过初等变换得到, 则称 A 与 B 等价. 16. 分块矩阵 以子矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵.求分块矩阵的加、数乘、乘法运算时与矩阵的加、 数乘、乘法运算对应一致.特别是求分块对角矩阵的逆矩阵时, 可把它化为对对角线上的子 矩阵求逆. 三、典型例题 （一）矩阵运算 例 1 设 X 是实 n 1 矩阵, 试证： （1） X X 0 T ； （2） X X = 0 T 的充要条件是 X = 0. 证 （1）设 = an a a X 2 1 则 ( , , , ) 1 2 n T X = a a a , 于是