习题二解答 1.利用导数定义推出: 1)(=")=nzn1,(m是正整数) 证1)(二)=lim (二+△)- =lim(n+Cn=A+…△“) li -=-lim 2.下列函数何处可导?何处解析? (1)f(=)=x2-iy (2)f()=2x3+3y2i (3)(2)=x2+ix2y (4) f(=sin achy+icos xshy 解(1)由于 在z平面上处处连续,且当且仅当x=-时,uy才满足CR条件,故f()=+i=x-iy仅在 直线x=--上可导,在z平面上处处不解析。 (2)由于On ar-6r, our 0 0 ax 在z平面上处处连续,且当且仅当2x2=3y2,即√2x±√y=0时,u才满足CR条件,故 f()=+i=2x2+3y2仅在直线√2x±√3y=0上可导,在z平面上处处不解析。 (3)由于 xy 2x 在z平面上处处连续,且当且仅当=0时,才满足CR条件,故f()=xy2+ix2y仅在点z=0 处可导,在z平面处处不解析 (4)由于 cOS rchy, =sin tshr =-sin ashy =cos chi 在z平面上处处连续,且在整个复平面u才满足C-R条件,故∫(-)= sin chy+ i cos shi在 平面处处可导,在〓平面处处不解析 3.指出下列函数∫(二-)的解析性区域,并求出其导数。 (二-1) (2)x3+2iz 3) (4)2+(cd冲至少有一个不为0) 解(1)由于∫()=5(x-1,故()在z平面上处处解析 (2)由于f()=3z2+2i,知f(=)在z平面上处处解析 (3)由于f() 2-1)(-1)(=+1) 知f(=)在除去点二=±1外的z平面上处处可导。处处解析,z=±1是f()的奇点
1 习题二解答 1．利用导数定义推出： 1 2 1 1 1)( )' ,( ) 2 ' n n z nz n z z − ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 是正整数 ； ） 。 证 1） 1 22 1 1 0 0 ( ) ( )' lim lim( ) n n n n n nn n z z zz z z nz C z z z nz z − − −− ∆→ ∆→ +∆ − = = + ∆+ ∆ = ∆ " 2） 2 0 0 1 1 1 11 ' lim lim ( ) z z z zz z z zz z z ∆→ ∆→ − ⎛ ⎞ + ∆ ⎜ ⎟ = =− =− ⎝ ⎠ ∆ +∆ 2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） f ( )z x i y 2 = − （2） 3 3 f () 2 3 i zxy = + （3） f( )z xy x y 2 2 = +i （4） f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 解 （1）由于 2 , 0, 0, = −1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x v y u x x u 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 1 x = − 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( )z = u + i v = x − i y 仅在 直线 2 1 x = − 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （2）由于 2 6 u x x ∂ = ∂ ， 0 u y ∂ = ∂ ， 0 v x ∂ = ∂ ， 2 9 v y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 2 2 3, 2 3 0 xy x y = 即 ± = 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 ( ) 3 3 f zuv x y =+ = + i 2 3i 仅在直线 2 30 x y ± = 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （3）由于 2 y x u = ∂ ∂ ， xy y u = 2 ∂ ∂ ， xy x v = 2 ∂ ∂ ， 2 x y v = ∂ ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 z=0 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f (z) xy x y 2 2 = + i 仅在点 z = 0 处可导，在 z 平面处处不解析。 （4）由于 cos ch u x y x ∂ = ∂ ， sin sh u x y y ∂ = ∂ ， sin sh v x y x ∂ = − ∂ ， cos ch v x y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且在整个复平面 u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 在 z 平面处处可导，在 z 平面处处不解析。 3．指出下列函数 f ( )z 的解析性区域，并求出其导数。 1） 5 ( 1) z − ； （2） 3 z z + 2i ； 3） 2 1 z −1 ； （4） ( , 0) az b c d cz d + + 中至少有一个不为 解 （1）由于 ( ) 4 fz z ′ = − 5( 1) ，故 f (z) 在 z 平面上处处解析。 （2）由于 ( ) 3 2i 2 f ′ z = z + ，知 f ( )z 在 z 平面上处处解析。 （3）由于 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 − + = − − − ′ = z z z z z f z 知 f ( )z 在除去点 z = ±1外的 z 平面上处处可导。处处解析， z = ±1是 f (z) 的奇点
(4)由于f(=)= +d ,知f(=)在除去二=-d/c(c≠0)外在复平面上处处解析 5.复变函数的可导性与解析性有什么不同?判断函数的解析性有那些方法? f(=-)在D(区域)内解析 f(二)在D内可导 f(=)在二0解析 f(二)在二0可导 f(=)在二0连续 判定函数解析主要有两种方法:1)利用解析的定义:要判断一个复变函数在二0是否解析,只 要判定它在〓及其邻域内是否可导;要判断该函数在区域D内是否解析,只要判定它在D内是否 可导;2)利用解析的充要条件,即本章§2中的定理二 6.判断下述命题的真假,并举例说明 (1)如果f(-)在0点连续,那么∫(a)存在 (2)如果f(=)存在,那么f()在0点解析 (3)如果=0是f()的奇点,那么f()在二0不可导 (4)如果=0是/()和g()的一个奇点,那么也是f(-)+g()和/(-)/g()的奇点。 (5)如果l(x,y)和v(x,y)可导(指偏导数存在),那么f(二)=l+i亦可导。 (6)设∫(=)=a+iv在区域内是解析的。如果u是实常数,那么f(二)在整个D内是常数;如 果ν是实常数,那么∫(=)在整个D内是常数 解 (1)命题假。如函数f(=)=x1=x2+y2在z平面上处处连续,除了点z=0外处处不可导。 (2)命题假,如函数f()==在点z=0处可导,却在点z=0处不解析。 (3)命题假,如果f()在二点不解析,则=称为()的奇点。如上例 (4)命题假,如∫(=)= sinxch y,g(z)= icos xsh y,z=(x/2,0)为它们的奇点,但不 是f(=)+g(二)的奇点 (5)命题假。如函数()=Rez=x2+ix仅在点=0处满足CR条件,故f()仅在点z=0 处可导 (6)命题真。由u是实常数,根据CR方程知v也是实常数,故∫()在整个D内是常数; 后面同理可得 7.如果f()=+i是z的解析函数,证明: a1()+(1()+r(e 证1/()vn2 于是
2 （4）由于 ( ) 2 ( ) ad bc f z cz d − ′ = + ，知 f (z) 在除去 z d cc = − ≠ / ( 0) 外在复平面上处处解析。 5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答： 判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在 0 z 是否解析，只 要判定它在 0 z 及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域 D 内是否解析，只要判定它在 D 内是否 可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2 中的定理二。 6．判断下述命题的真假，并举例说明。 （1）如果 f ( )z 在 0 z 点连续，那么 ( ) 0 f ′ z 存在。 （2）如果 ( ) 0 f ′ z 存在，那么 f ( )z 在 0 z 点解析。 （3）如果 0 z 是 f ( )z 的奇点，那么 f (z) 在 0 z 不可导。 （4）如果 0 z 是 f ( )z 和 g z( )的一个奇点，那么 0 z 也是 f (z gz ) + ( ) 和 f (z gz )/ () 的奇点。 （5）如果uxy (, ) 和vxy (, ) 可导（指偏导数存在），那么 f () i z uv = + 亦可导。 （6）设 f () i z uv = + 在区域内是解析的。如果u 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数；如 果v 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数； 解 （1）命题假。如函数 ( ) 2 2 2 f z =| z | = x + y 在 z 平面上处处连续，除了点 z=0 外处处不可导。 （2）命题假，如函数 ( ) 2 f z =| z | 在点 z=0 处可导，却在点 z=0 处不解析。 （3）命题假，如果 0 0 fz z z fz () () 在 点不解析，则 称为 的奇点。如上例。 （4）命题假，如 f ( ) sin ch , ( ) i cos sh z x ygz x y = = ， z = ( / 2,0) π 为它们的奇点，但不 是 f () () z gz + 的奇点。 （5）命题假。如函数 f ( )z z Re z x i xy 2 = = + 仅在点 z=0 处满足 C-R 条件，故 f ( )z 仅在点 z=0 处可导。 （6）命题真。由u 是实常数，根据 C-R 方程知v 也是实常数，故 f ( )z 在整个 D 内是常数； 后面同理可得。 7．如果 f ( )z = u + i v 是 z 的解析函数，证明： ( ) () () 2 2 2 | | | f z | | f ' z | y f z x = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 证 ( ) 2 2 | f z |= u + v ，于是 f ( )z 在 D（区域）内解析 f ( )z 在 0 z 解析 f ( )z 在 D 内可导 f ( )z 在 0 z 可导 f ( )z 在 0 z 连续
If()karana -|f(=) 由于f()=+i为解析函数,故 ax ay 从而 ou o Cx ax ax ( au.av ax ax 2+y)f()=()P 9.证明:柯西-黎曼方程的极坐标形式是 ay i au 证令x=rcos,y= rsin e,利用复合函数求导法则和l,v满足CR条件,得 rsin 0)+-rcos6=-rsin0 +-rcosB r 0)+arcos ae ax ar=cos0+-sin0= cos0+-sin6 os8--rsine rcOS rae 总之,有 au 10.证明:如果函数f(=)=+在区域D内解析,并满足下列条件之一,那么f(-)是常数 (1)∫(=)恒取实值。 (2)f(2)在D内解析。 (3)|f()在D内是一个常数 (4)agf(-)在D内是一个常数。 (5)au+b=c,其中a、b与c为不全为零的实常数
3 ( ) 2 2 | | u v x v v x u u f z x + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ( ) 2 2 | | u v y v v y u u f z y + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 由于 f ( )z = u + i v 为解析函数，故 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 从而 ( ) ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 | | | | x v u x u u u v f z y f z x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + x u x v uv x v x u uv x v v x u v 2 2 2 2 2 2 ( ) () () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | 1 1 u v f z f z u v x v x u v x v x u u u v + = + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = 9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 证 令 x = r cosθ , y = rsinθ ，利用复合函数求导法则和u,v 满足 C-R 条件，得 cosθ sinθ y u x u r u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) r u r r x u r y u r y v r x v v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ θ θ sin cos sin cos 即 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 。又 ( ) θ θ θ sin r cos y u r x u u ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ cosθ sinθ cosθ sinθ x u y u y v x v r v ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − u r r x u r y u r 1 cos sin 1 总之，有 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 。 10．证明：如果函数 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，那么 f ( )z 是常数。 （1） f ( )z 恒取实值。 （2） f ( )z 在 D 内解析。 （3）| f ( )z |在 D 内是一个常数。 （4）arg f ( )z 在 D 内是一个常数。 （5） au + bv = c ，其中 a 、b 与 c 为不全为零的实常数
解(1)若f(=)恒取实值,则v=0,又根据()在区域D内解析,知CR条件成立,于是 故u在区域D内为一常数,记u=C(实常数),则∫(=)=+=C为一常数 (2)若f()=+m=u-n在区域D内解析,则 d(-y)_ 又f(=)=l+在区域D内解析,则 au av ou (2) 结合(1)、(2)两式,有 auau av 故u,v在D内均为常数,分别记之为 l1=C1,n2=C2(C,C2为实常数), 则 为一复常数。 (3)若|f()在D内为一常数,记为C1,则n2+y2=C12,两边分别对于x和y求偏导,得 Oy 由于()在D内解析,满足CR条件如=,如=-如代入上式又可写得 au aaaa ax 解得如==0。同理,可解得 ar an 0故u,v均为常数,分别记为u=C=C2,则 f(-)=u+i=C1+C2=C为一复常数 (4)若argz在D内是一个常数C1,则f()≠0,从而f()=+n≠0,且 rgf()=arctan-+T,u<O,v>0 C1-xu<0,v<0 总之对agf()分别关于x和y求偏导,得
4 解 （1）若 f ( )z 恒取实值，则v = 0 ，又根据 f (z) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u ， = 0 ∂ ∂ = − ∂ ∂ x v y u 故 u 在区域 D 内为一常数，记u = C(实常数)，则 f (z) = u + iv = C 为一常数。 （2）若 f ( )z = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则 ( ) y v y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ， ( ) x u x v y u ∂ ∂ = ∂ ∂ − = − ∂ ∂ （1） 又 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，则 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ （2） 结合（1）、（2）两式，有 = 0 ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ vy v x v y u x u ， 故u,v 在 D 内均为常数，分别记之为 ( 为实常数) 1 1 2 2 1 2 u = C , u = C C ,C ， 则 f (z) = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （3）若| f ( )z |在 D 内为一常数，记为C1 ，则 2 1 2 2 u + v = C ，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 0 2 2 0 y v v y u u x v v x u u 由于 f ( )z 在 D 内解析，满足 C-R 条件 x v y u y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 代入上式又可写得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 y u u x u v y u v x u u 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u 。同理，可解得 = 0 ∂ = ∂ ∂ vy v x v 故 u,v 均为常数，分别记为 1 2 u = C ,v = C ，则 f ( )z = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （4）若arg z 在 D 内是一个常数C1，则 f (z) ≠ 0，从而 f (z) = u + iv ≠ 0 ，且 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = arctan , 0, 0 arctan , 0, 0 arctan , 0 arg u v u v u v u v u u v f z π π ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = 0, 0 0, 0 1 1 1 1 C u v C u v C u π π 总之对arg f ( )z 分别关于 x 和 y 求偏导，得
I av Ou av__ Ou..au 化简上式并利用f(-)解析,其实、虚部满足CR条件,得 ax ay 解得2=如=0,同理也可求得Cm=如=0,即u和v均为实常数,分别记为C,和C,从而 f()=+m=C2+C3=C为一复常数 (5)若a+b=c,其中a、b和c为不全为零的实常数,这里a和b不全为0,即a2+b2≠0 否则此时a、b和c全为零。对方程a+b=c分别对于x和y求偏导,得 a一a 再利用解析函数f()=+i的实、虚部u和v满足CR条件,得 aaa aa 解得=2=0,同理也可求得==0,知函数/()为一常数 11.下列关系是否正确? (1)e=e; (2) COS==cos=: (3) sin==sin 3 Hf(1)e=e (cos y +isin y)=e (cos y-isin y)=e-ly=e (2)cos- +e)=cos彐。 2 (3) m:-)=42-=2 242-c+)=s 12.找出下列方程的全部解。 (3)1+e=0; (4)sin z+cosz=0 解(3)原方程等价于e=-1,于是它的解为
5 0 1 1 2 2 2 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ u v x u v x v u u v x u v x v u u 0 1 1 2 2 2 2 = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ u v y u v y v u u v y u v y v u u 化简上式并利用 f ( )z 解析，其实、虚部满足 C-R 条件，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ − 0 0 y u v x u u y u u x u v 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u ，即u 和v 均为实常数，分别记为C2 和C3，从而 f ( )z = u + iv = C2 + iC3 = C 为一复常数。 （5）若 au + bv = c ，其中 a 、b 和 c 为不全为零的实常数，这里 a 和 b 不全为 0，即 0 2 2 a + b ≠ ， 否则此时a 、b 和 c 全为零。对方程 au + bv = c 分别对于 x 和 y 求偏导，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0 y v b y u a x v b x u a 再利用解析函数 f ( )z = u + iv 的实、虚部 u 和 v 满足 C-R 条件，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 y u a x u b y u b x u a 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y u x u ，同理也可求得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x v ，知函数 f (z) 为一常数。 11.下列关系是否正确？ （1） z z e = e ； （2）cosz = cosz ； （3）sin z = sin z 解（1） z x x x y z e = e y + y = e y − y = e = e −i (cos isin ) (cos isin ) （2） (e e ) ( ) e e z e e z z z z z z z cos 2 1 2 1 2 cos i i i i i i = + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − − 。 （3） ( ) ( ) ( ) 2i 1 2i 1 2i 1 sin iz iz iz iz iz iz z e e e e e − e − = − = − = − − − = (e e ) z z z sin 2i 1 i i − = − 。 12．找出下列方程的全部解。 （3）1+ = 0 z e ； （4）sin z + cosz = 0 ； 解（3）原方程等价于 = −1 z e ，于是它的解为：