傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosoT-jsin or)cos oddo f(r)(cosor-jsin or)jsin drdo=fo -a/()cos ordr cos ordo f(r)sin ordr sin ordo= af)cos odo+o b(@)sin ordo 因∫f() sin@r cos otdrdo为a奇函数,∫f() cos or cos ofdrdo为o偶函数 2.试证:若f(满足傅氏积分定理的条件,当f()为奇函数时,则有 f(=ba)sin(otHo 其中 b(o)=2厂rr(i(r)dr 当f()为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 f(=f()e io drea"do=/(r)(cos ar-jsin or)drei"do (may+0,(是的奇函数 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数
傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a(ω) cosω ωtd b(ω)sinωtdω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) cos , 1 ( ) ( )sin a f b f d d ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos jsin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (cos jsin )jsin cos cos 2 1 + sin sin ( ) cos ( )sin f td d f d td f d td a td b td τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ dω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ dω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f (t)满足傅氏积分定理的条件，当 f (t)为奇函数时，则有 f ( )t b(ω) (ωt)dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a(ω)cos(ωt)dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( )( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 sin j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。（b(ω) 是ω 的奇函数） ( )( ) ( ) 0 1 cos jsin sin 2j b t ω ω ωt dω b ω ωtd +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数
allelo doJo q(o cos oddo a(o)是o的偶函数。(注也可由1题推证2题) 3.在题2中,设/y)≈J1,|t1 l0,|t1 试算出a(o),并推证 2,ItKI +oo sin (cos ot d t1 0,|t卜1 证f()是偶函数 do)2∫0 f()cosordt-=2 sin or ()=∫0o sin o cos (t cos oddo= z IK1 所以 top SIn o cos o do=f( 丌0+1 t=1 t卜1 习题二 1.求矩形脉冲函数/()A,0≤1≤r 的傅氏变换 0,其他 F(a)=[(]/(e comdt=o Ae iodt A Jo 2.求下列函数的傅氏积分 0.-∞<t< (1)f()= (2)f() 0, t<0 l,-1<t<0 0,t2>1 sin2t.t≥0 (3)f()= 0<t<1 0.1<t<+0 解(1)函数f()={-°,k满足傅氏积分定理的条件,傅氏积分公式为 0,|t卜>1
( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( )( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) j 0 1 cos 2 t a e d a td ω ω ω ω ω +∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ ω a(ω)是ω 的偶函数。（注也可由 1 题推证 2 题） 3．在题 2 中，设 ( ) ，试算出 1, | | 1 0, | | 1 t f t t ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ > a(ω)，并推证 0 , | | 1 2 sin cos , ||1 4 0, ||1 t t d t t π ω ω π ω ω +∞ ⎧ < ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ = ⎪ ⎪ > ⎪ ⎩ ∫ 证 f (t)是偶函数 ( ) ( ) ∫ = = + ∞ = ω ω ω π ω π ω π ω 2 sin 0 2 sin 1 cos 0 2 t a f t tdt ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ = +∞ = ω ω ω ω π ω ω ω d t t a td sin cos 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sin cos 0 1 | | 1 2 2 2 4 0 | | t t d f t t t π ω ω π π π ω ω +∞ ⎧ 1 < ⎪ ⎪ ⎪ + = = ⎨ = ⎪ ⎪ > ⎪ ⎩ ∫ = 。 习题二 1． 求矩形脉冲函数 , 0 ( ) 0, A t f t ⎧ ≤ ≤τ = ⎨ ⎩ 其他 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) ( ) j j 0 t t f t f t e dt Ae dt ω ω τ − − +∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ −∞ ∫ ∫ j i j 0 1 1 j j j t e e e A A A τ ω ωτ ωτ ω ω ω − − − − − = = = − − 2． 求下列函数的傅氏积分： （1） ( ) （2） （3） 2 2 2 1 , 0, 1 t t f t t ⎧ − < = ⎨ ⎩ > 1 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = − sin 2 , 0 0, 0 e t t t f t t ( ) 0, 1 1, 1 0 1, 0 1 0, 1 t t f t t t ⎧ −∞ < < − ⎪ ⎪− − < < = ⎨ < < ⎪ ⎪ ⎩ < < +∞ 解 （1）函数 ( ) 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 ⎩ ⎨ ⎧ > − < = 0, | | 1 1 , | | 1 2 t t t f t
f()= ∫0)e-da0=-- e-iedteedo 厂(- I (+ sin ot (2t cos ot 2sin at ! sin ot cos male do 2(sin @-ocosoledo=- 4 r+oo sin @-@coso cos oddo (2)f()= 0,t<0 lesn2,t≥0 满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 ()=2厂 te-le dtelerdo= a e"sin 2teidte'iodo e dedo -i( 2+e) )dte do 4 [-1+i(2-o) 2+o)y 1+1 1(2+ 4x1J--1+1(2-o)-1-1(2 de o2)-2 丌J-x25-6o2+ 4(cos ot+isin ot da +o 5-02)cos @t 2o sin at do+o -@ )sin at-2@ cos ot t+eosin ot do (3)函数f()={1.0<1<1是奇函数,满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 0,其他 (=-"〔 f(e" le"dte" yo ( sin otte do -ill- sin orde do=_oue'do 在/()的间断点62=-101处以(+0)+/(-代替 3.求下列函数的傅氏变换,并推证下列积分结果。 (1)f()=e刚(B>0),证明 cos or d (2)f() =e cost 证明[+4os)=cs
( ) ( ) 1 i i 2 t t f t f t e dte d ω ω ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 2 i i 1 1 1 2 t t t e dte d ω ω ω π +∞ − −∞ − = − ∫ ∫ ( ) 1 2 i 0 1 1 cos t t tdte d 1 2 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2sin sin t t t t t t t e d ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ] ω ω ω π +∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) i 3 1 2 sin cos t e d ω ω ω ω ω π ω +∞ −∞ − = ∫ 3 0 4 sin cos cos td ω ω ω ω ω π ω +∞ − = ∫ （2） ( ) 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = − sin 2 , 0 0, 0 e t t t f t t ( ) ( ) i i i i 0 1 1 sin 2 2 2 t t t t t f t f t e dte d e te dt ω ω ω ω ω e dω π π +∞ +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ − i2 i2 i i 0 1 2 2i t t t t t e d e e e e dt ω ω ω π − +∞ +∞ − − −∞ − = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) i 2 i 2 i 0 1 4 i t t t t t e e dte ω ω ω dω π +∞ +∞ − + − − − + −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i 2 i 0 1 4 i 1 i 2 1 i 2 t t e e t e d ω ω ω ω π ω ω +∞ ⎡ ⎤ − + − ⎡ ⎤ − − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +∞ −∞ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 i 4 i 1 i 2 1 i 2 t e d ω ω π ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 1 5 2 i cos isin 25 6 t t ω ω ω ω ωd π ω ω +∞ −∞ − − = + − + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 1 i 5 cos 2 sin 5 sin 2 cos 25 6 25 6 t t t t d d ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π ω ω π ω ω +∞ +∞ −∞ −∞ − + − − = + − + − + ∫ ∫ ( ) 2 2 4 0 2 5 cos 2 sin 25 6 t t d ω ω ω ω ω π ω ω +∞ − + = − + ∫ （3）函数 ( ) ，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < − − < < = 是奇函数 0, 其他 1, 0 1 1, 1 0 t t f t ( ) ( ) ( ) i i i 0 1 1 sin 2 i t t t f t f t e dte d f t tdt ω ω ω ω ω ω e d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 i i 0 1 1 1 1 sin i i t t tdte d e d ω ω cosω ω ω ω π π +∞ +∞ −∞ −∞ ω − = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ω ω ω ω π sin td 2 1 cos ∫0 +∞ − = 在 f ( )t 的间断点t0 = −1,0,1处以 ( ) ( ) 2 f t0 + 0 + f t0 − 0 代替。 3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果。 （1） | | ( ) t f t e−β = （ β > 0 ），证明 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （2） f ( )t = e−|t| cost ，证明 ( ) ∫ +∞ − = + + 0 | | 4 2 cos 2 cos 4 2 t d e t π t ω ω ω ω
3101b明广mDm体 t卜丌 解(1)F0)=5(0)1-ch-2 -l"===2—d -(B-ie)r -(B-ie) +e-(B+ie) ldt (B-io)-(B 2B B-i0 B+io B2+02 f()的积分表达式为 0)=2ok 2B d cos ot+isin ordo B B- cos ot 即 do= B+@4 2B (2)Fo)=s() coste lex [-1+1(-yj 2|1+i(1-a)1-i(1+0)-1+i(1-a)-1-i( 2a2+4 21+(0-0)+1-(0+o)1-1(-0)+1+(0+o)=+4 f()的积分表达式为 202+4 4+4 丌10a4+4 因此有+2w2()=2sr (3)F(o)=s[(]/(e io"dt=l sin te"idt=[ sin r cos ot-isin o lt=-2i sint sin ordt i sing+o) sin(+opr-sin(l-o)r-o sin(l-or SIn (T f()的积分表达式为
（3） ( ) 证明 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0, | | , sin , | | , π π t t t f t 2 0 sin sin sin , | | 2 1 0, | | t t t d t π ωπ ω π ω ω π +∞ ⎧ ⎪ ≤ = ⎨ − ⎪ ⎩ > ∫ 解 （1） F( )t = ¶ ( ) | |t i t f t e e dt β ω +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = i i 0 0 2 cos 2 2 t t t t e e e tdt e dt ω ω β β ω − +∞ +∞ − − + = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 0 0 0 i i t t t t e e e e dt β ω β ω β ω β ω β ω β ω +∞ + − − − − +∞ − − − + = + ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ − − − + ∫ ∞ 2 2 112 i i β β ω β ω β ω = + = − + + f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ +∞ −∞ = ω ω π ω f t F e d i t 2 1 ( ) 2 2 1 2 cos isin 2 t t d β ω ω ω π β ω +∞ −∞ = + + ∫ 2 2 0 2 cos td β ω ω π β ω +∞ = + ∫ 即 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （2） F( ) ω = ¶ [ ] ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ − − − +∞ −∞ − − + = = e dt e e f t e te dt e t t t t ωt t iω i i | | i | | 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 1 2 t t t e dt e dt e dt e dt ω ω ω t +∞ +∞ ⎡ + − ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ = + + + ∫∫∫ ∫ ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 t t t t e e e e ω ω ω ω ω ω ω +∞ +∞ ⎡ ⎤ + − ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ ⎧ ⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ + + + + − − + − + − − − + ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i 1 ω 1 i 1 ω ω 1 i 1 1 i 1 ω ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ + + + − − + − − + + ⎣ ⎦ 2 4 2 4 4 ω ω + = + f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ω ω ω π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 4 2 i 4 2 4 2 1 2 1 ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ + + = = ∫ +∞ + + = 0 4 2 cos 4 1 2 4 ω ω ω ω π td 因此有 ( ) ∫ +∞ − = = + + 0 | | 4 2 cos 2 2 cos 4 2 td f t e t π π t ω ω ω ω （3） F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i i sin t t f t f t e dt te dt π ω ω π +∞ − − −∞ − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ = − = − − π π π ω ω ω 0 sin t cos t isin t dt 2i sin tsin tdt = [ ] ( ) ( ) ∫ + − − π ω ω 0 i cos 1 t cos 1 t dt ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + = ω ω ω ω π π 1 sin 1 1 sin 1 i 0 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 i ω ω π ω ω π ω π ω ω π − + − + − − − − = 2 1 sin 2 i ω ωπ − = − f (t)的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = − ω ω ωπ π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 2 i 1 sin 2i 2 1 2 1
20动tisn 20* or sin ot 因此有“xm=号={2mx 0,|t卜>x 4.已知某函数f()的傅氏变换为F()=52,求该函数f0 解f0=1-Fod=n(oako ~s0m,如m(,(1- I too sin o +msin(1+no+ cos oddo= 而由 2a=2得 当n>0时,C当d=C如ho=d= top sin u@ 当u<0时, do 当u=o时← sinuo do=0.所以由*)式有 ItKI ()={1.1+ 0,|t卜 5.已知某函数的傅氏变换为F(O)=m[b(+a)+o(a-a),求该函数f()。 解1()=CF(yd0n()+80-myld =COS@o! t<0 6.求符号函数(又称正负号函数)sgnt= 的傅氏变换。 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件,显然[| sent dt→+∞不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取f()={01=0,且sgnt=limf,(),F[sgnl= lim Fl(O),而 n→a n→ f(1)满足傅氏积分定理的条件,且 Flo]=[(0]/(e dt=S e"ne"in dt-engerindt
( ) ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ − + = − − = 0 2 2 1 2 sin sin cos isin 1 i sin ω ω ωπ ω π ω ω ω ω ωπ π d t t t d 因此有 ( ) ∫ +∞ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = = 0 − 2 0, | | sin , | | 2 1 2 sin sin π π π π ω ω ωπ ω t t t d f t t 4．已知某函数 f (t)的傅氏变换为 F( ) ω = sinω ω ，求该函数 f (t)。 解 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ −∞ = = ω + ω ω ω ω π ω ω π ω f t F e d t t d t cos isin sin 2 1 2 1 i ( ) 0 1 sin 1 sin(1 ) sin 1 cos 2 2 t t td d ω ω ω ω ω ω π ω π ω +∞ +∞ −∞ + + − = = ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ − + + = 0 0 sin 1 2 sin 1 1 2 1 ω ω ω π ω ω ω π d t d t （*） 而由 ∫ +∞ = 0 2 sin π dx x x 得 当u > 0时，∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ = = = 0 0 0 2 sin sin sin π ω ω ω ω ω ω dx x x du u u d u 当u < 0 时， ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ = − − = − 0 0 2 sin sin π ω ω ω ω ω ω d u d u 当u = 0 时， 0 sin 0, u d ω ω ω +∞ = ∫ 所以由(*)式有 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < = 0, | | 1 , | | 1 4 1 , | | 1 2 1 t t t f t 5．已知某函数的傅氏变换为 0 F( ) [ ( ) ( )] ω π δ ω ω 0 = + +δ ω −ω ，求该函数 f (t)。 解 ( ) ( ) i i 0 0 1 1 [ ( ) ( )] 2 2 t t f t F e d e d ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω π π +∞ +∞ −∞ −∞ = = + + − ∫ ∫ ω 0 0 -i i 0 cos 2 t t e e t ω ω ω + = = 6．求符号函数（又称正负号函数） 1, 0 sgn | | 1, 0 t t t t t ⎧− < = = ⎨ ⎩ > 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取 ，且 | sgn t d| t +∞ −∞ → +∞ ∫ / / , 0 ( ) 0 0 0 t n n t n e t f t t e t − ⎧ > ⎪ = = ⎨ ⎪− < ⎩ sgn lim ( ) n n t f t →∞ = ， [sgn ] lim [ ( )]，而 df n n F t F f t →∞ = ( ) nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ] Fn ω = ¶ ( ) ( ) 0 i / i / 0 t t n t t n n i t f t f t e dt e e dt e e dt ω ω +∞ +∞ − − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − ω