例1求级数∑()(,1y的收敛域(续) (2)当,1 >1,→1+x<1 +x 即-2<x<0时,原级数发散 (3)当1+x=1,→x=0或x=-2, 当x=时级数∑(收敛 当x=-2时,级数∑ 1发散 H=1 故级数的收敛域为(-∞,-2)∪[0,+0)
1, 1 1 (2) x 当 1 x 1, 即 2 x 0时, 原级数发散. 当 x 0时, 1 ( 1) n n n 级数 收敛; 当 x 2时, 1 1 n n 级数 发散; 故级数的收敛域为 (,2)[0,). (3) 当|1 x | 1, x 0或x 2, 例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 的收敛域. （续）
、幂级数及其收敛性 1.定义:形如∑an(x-x0)”的级数称为幂级数 0 当xn=0时,∑ax",其中为级数系数 2.收敛性: 例如级数∑x"=1+x+x2+ H=0 当x<时,收敛;当x≥1时,发散; 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1112+∞);
1.定义: 形如 n n n a ( x x ) 0 0 的级数称为幂级数. 0 , , 0 0 n n n x a x 当 时 其中 n a 为幂级数系数. 2.收敛性: 1 , 2 0 x x x n 例如级数 n 当 x 1时,收敛; 当 x 1时, 发散; 收敛域(1,1); 发散域(,1][1,);
定理1(Abel定理) 如果级数∑anx”在x=x0(x0≠0)处收敛,则 n=0 它在满足不等式x<x的一切x处绝对收敛; 如果级数∑anx"在x=x处发散,则它在满足 n=0 不等式x>x0的一切x处发散 证明(1):∑ax收敛 lima,xo=0, n→00
定理 1 (Abel 定理) 如果级数 n0 n n a x 在 ( 0) x x0 x0 处收敛,则 它在满足不等式 0 x x 的一切x处绝对收敛; 如果级数 n0 n n a x 在x x0 处发散,则它在满足 不等式 0 x x 的一切x 处发散. 证明 lim 0, 0 n n n (1) , a x 0 0 收敛 n n n a x
日M,使得,x≤M(n=02,) (如果数列的极限存在,则该数列有界) x x 0 n =a.x ≤M 0 0 0 当<时,等比级数∑M收敛 x ∑anx收敛,即级数∑anx绝对收敛 n=0 n=0
( 0,1,2, ) a x0 M n n 使得 n M, n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0 n x x M 0 1 , 0 当 时 x x , 0 0 等比级数 收敛 n n x x M , 0 收敛 n n n a x （如果数列的极限存在，则该数列有界） 即级数 绝对收敛 n0 n n a x
(2)假设当x=x时发散, 而有一点x1适合x1>x使级数收敛, 由(1)结论则级数当x=x时应收敛 这与所设矛盾 几何说明 收敛区域 发散区域R发散区域
(2) , 假设当x x0时发散 而有一点 1 x 适合 1 0 x x 使级数收敛, 则级数当 0 x x 时应收敛, 这与所设矛盾. 由(1)结论 x o R R 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域