上式两端的a1a2和e1e2分别表示由a,a2和e,e2所张成的平 四边形的有向面积,而行列式4就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零,说明这两个有向面积的符号相同,即从 e到e的旋转方向与从a到a,的旋转方向相同;若行列式小于零,说 明这两个有向面积的符号相反,即从e1到e2的旋转方向与从a到a2的 旋转方向相反
上式两端的 a1 a2 和 1 e 2 e 分别表示由 a1， 2 a 和 1 e ， 2 e 所张成的平 行四边形的有向面积，而行列式 21 22 11 12 a a a a 就是这两个有向面积之间的 比例系数。若行列式大于零，说明这两个有向面积的符号相同，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从a1到a2 的旋转方向相同；若行列式小于零，说 明这两个有向面积的符号相反，即从 1 e 到 2 e 的旋转方向与从a1到a2的 旋转方向相反
微分形式 从例13.5.1得到启发,若能将重积分变量代换公式中的微元关系 dxdy= a(x, y)ldudv a(u 写成形式 dx∧d a(x,y dua dy a(,v) 而dx∧dy和du∧dv理解为带符号的面积微元,就无须对变量代换的 Jacobi行列式取绝对值了。但是,这里的dx,dy(或dl,dv)并非向量, 因此需要引入微分形式和外积的概念
微分形式 从例 13.5.1 得到启发，若能将重积分变量代换公式中的微元关系 dxdy = ( , ) ( , ) u v x y dudv 写成形式 dx dy = ( , ) ( , ) u v x y du dv， 而 dx dy 和 du dv 理解为带符号的面积微元，就无须对变量代换的 Jacobi 行列式取绝对值了。但是，这里的 dx，dy (或 du，dv)并非向量， 因此需要引入微分形式和外积的概念
设U为R"上的区域,记x=(x,x2…xn),C(U)为U上具有连续偏 导数的函数全体。将{dx,dx,…,dxn}看作一组基,其线性组合 a1(x)dx1+a2(x)dx2+…+an,(x)dxn,a(x)∈C"(U)(i=1,2,…,n) 称为一次微分形式,简称1-形式。1-形式的全体记为A。 对于任意o,n∈N: O=a,(x)dx,+a2(x)dx2+.+a,(x ) dx n=6,()dx,+b2(x)dx2+.+b, (x)dx 我们定义o+n和A(A∈C"(U))为 Q+n=(a1(x)+b(x)dx1+(a2(x)+b2(x)dx2+…+(an(x)+bn(x)dxn 1O=((x)a1(x)dx1+((x)a2(x)dx2+…+((x)an1(x)dxn 这显然满足交换律、结合律以及对C"(U)的乘法分配律。若定义A中 的“零元”为 0=0dx1+0dx2+…+0dxn, 而且定义-c为 a=a,(x)Xx,+(a2(x)dx2+.+(a, (x)dx 那么A成为C(U)上的向量空间
设U 为 n R 上的区域，记 ( , , , ) 1 2 n x = x x x ， 1 C ( ) U 为U 上具有连续偏 导数的函数全体。将{ n dx ,dx , ,dx 1 2 }看作一组基，其线性组合 n n a ( )dx a ( )dx a ( )dx 1 x 1 + 2 x 2 ++ x ， ai (x) 1 C ( ) U （i = 1,2, , n） 称为一次微分形式，简称 1-形式。1-形式的全体记为 1。 对于任意 , 1： ( )d ( )d ( )d , ( )d ( )d ( )d , 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n b x x b x x b x x a x x a x x a x x = + + + = + + + 我们定义 +和 （ 1 C ( ) U ）为 n n。 n n n x a x x x a x x x a x x a x b x x a x b x x a x b x x ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d ( ( ) ( ))d , 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 = + + + + = + + + + + + 这显然满足交换律、结合律以及对 1 C ( ) U 的乘法分配律。若定义 1中 的“零元”为 n 0 0dx 0dx 0dx = 1 + 2 ++ ， 而且定义− 为 ( ( ))d ( ( ))d ( ( ))d , 1 1 2 2 n n − = −a x x + −a x x ++ −a x x 那么 1成为 1 C ( ) U 上的向量空间
进一步,在{dx1,dx2,…,dxn}中任取2个组成二元有序元,记为 4∧dx,(,j=12,…,n),称为dx与dx的外积 仿照向量的外积,规定 dx2∧dx1=-dx1^dx;,dx1^dx1=0,ij=1,2,…,n 因此共有C个有序元 X.OX 1≤i<j≤n 同A的构造类似,以这些有序元为基就可以构造一个C(U)上的向量 空间A2。A2的元素称为二次微分形式,简称2-形式。于是A2的元素 就可表为 ∑g(x)dx,∧ 这称为2形式的标准形式
进一步，在{ n dx ,dx , ,dx 1 2 }中任取 2 个组成二元有序元，记为 i j dx dx (i, j =1,2, ,n) ，称为 i dx 与 j dx 的外积。 仿照向量的外积，规定 d d d d , i j j i x x = − x x dxi dxi = 0 , i, j = 1,2, ,n。 因此共有 2 Cn 个有序元 dxi dx j , 1 i j n。 同 1的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个 1 C ( ) U 上的向量 空间 2 。 2 的元素称为二次微分形式，简称 2-形式。于是 2 的元素 就可表为 i j n i j i j g x x x 1 ( )d d 。 这称为 2-形式的标准形式