陕西师范大学：《复变函数论 Theory of Complex Variable Functions》课程PPT教学课件（复分析 Complex Analysis）2.1 解析函数的概念

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院SHAANXENORMAyAff(z+△z)- f(z)= lim= 0,lim福limAz>0 zAAr-0 Ax + iAyAz-0Ay=0当点沿平行于虚轴的方向(△x=0)而使△z→0时AyAff(z+△z)- f(z))=limlimlinA-0Ar +iAy-AzAz→0 △z△z>0Ar=0当点沿这两个不同的方向使z一0时，极限值不同故f（z）=Imz在复平面上处处不可导

z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 lim 0, 0 0           x i y y y x 当点沿平行于虚轴的方 向(x  0)而使z  0时, z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 , 1 lim 0 0 x i y i y x y           当点沿这两个不同的方向使z  0时,极限值不同, 故f (z) Im z在复平面上处处不可导

陕西师大學陈数学与信息科学学院SHAANXINO例3 问f(z)=x+2yi是否可导?Aff(z+△z)- f(z)解limlimAzAz-0 zAz-→0(x + Ax) +2(y + Ay)i- x -2yilimAzAz->0tyAx + 2AyiAy=0= limAz-0Ar+Ayi+x设z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z

例3 问f (z)  x  2 yi是否可导？ z f z z f z z f z z            ( ) ( ) lim lim 0 0 解 z x x y y i x yi z            ( ) 2( ) 2 lim 0 x yi x yi z          2 lim 0 设z  z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z， x y o  z y  0

陕西师報大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVERAxAx + 2AyilimlimAr-→>0 △xAz-→0 △x + Ayi设z+△z沿着平行于轴的直线趋向于z，Ar=02AyiAx + 2Ayilim2.limLAz->0 Ax + AyiAy-0 AyiAV=0所以f(z)=x+2yi的导数X不存在

x y o  z y  0 x yi x yi z         2 lim 0 lim 1, 0       x x x 设z  z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z， x  0 x yi x yi z         2 lim 0 2, 2 lim 0       yi yi y 不存在 所以 的导数 . f (z)  x  2 yi

陕西师聚大学陈数学与信息科学学院SHAANIRR2.可导与连续：函数f(z)在z处可导则在z处一定连续，但函数）在处连续不一定在z处可导证根据在z可导的定义，V>0,S>0,使得当0<zkS时f(z +Az)- f(z0) - f'(zo) <8,有Az令p(2)=(2+)-(2)- F(z0)Az

2.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0处可导则在 z0处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0处连续不一定在 z0处可导. 证 , 根据在 z0 可导的定义   0,   0, 使得当 0 | z |  时, ( ) , ( ) ( ) 0 0 0         f z z f z z f z 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z       令   

陕西师大學乐数学与信息科学学院SHAANXLNORMALUNIVER则 lim p(△z) = 0,△z>0因为 f(z +z) -f(zo) = f'(zo)△z+ p(△z)△z,所以lim f(zo + △z) = f(zo),Az-0即f(z)在 zo连续[证毕]

lim ( ) 0, 0     z z 则  ( ) ( ) 0 0 因为 f z  z  f z lim ( ) ( ), 0 0 0 f z z f z z      所以 ( ) . 即f z 在 z0 连续 [证毕] ( ) ( ) , 0  f  z z   z z