不难证明 (21-J,)=0 若A有m个两两各异的特征值，即 J10… 0 J= 0 0 0 0Jm」 则 (1I-A(22I-A…(nI-Aw 0 0 (21-J)0 … 0 0(1-J2) 0 0 (231-J3) 0 0 0 … 0 (mIIm)" 0 … 0(I)": (1-J)0… 0 0 =0 0 0
不难证明 I − J = 0 ni i i (λ ) 若 有 个两两各异的特征值，即 A m ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = m 0 0 J 0 0 0J 0 0 A 1 L O O M L 0 0 0 0 I J 0 0 J 0 0 0 0 I J 0 I J 0 0 J 0 0 0 0 I J 0 0 J 0 0 0 I A I A I A 1 1 2 = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − − ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − − = − − − − − L L M O M O M L L L L L M O M M M L L L L M O M O M M L L L m m m n m m n n m m n n n m m n n m n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ I I I 则
其中，m,是的指数。则A的最小多项式 ()=(-)西(1-元)严…(-n)=几(0-1) (2-22) 显然 3)凯莱一哈密顿(Cayley Hamilton)定理 ·若A的特征多项式为 △()=det(2I-A)=”+a4,2"+…+an-2+an 则多项式 △(A)=A”+a,A+…+anA+an=0 (2-39) 这就是凯莱一哈密顿定理，简称C-H定理
其中， 是 的指数。则 的最小多项式 i n λi A ∏= = − − − = − m i n i n m n n m i λ λ 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ψ λ λ λ λ λ L λ λ 显然 ∑ ∑≤ = m m i i n n n 1 1 ⑶ 凯莱 —哈密顿（Cayley Hamilton）定理 若 的特征多项式为 A n n n n Δ λ = λ − = λ + α λ + + α − λ + α − 1 1 1 ( ) det( I A ) L 则多项式 Δ A = A + A + + A + = 0 − − n n n n α α 1 α 1 1 ( ) L 这就是凯莱 —哈密顿定理，简称 C − H 定理 。 • （2－22） （2－39）
证明A的特征多项式也可表示为 A()=det(aI-A)=(亿-，) 式中，m是两两各异的根数，n,是元的重数。若A是 A的约当标准形，则 A()=det(2I-A)=det(I-)=()" 由于n,≥元，所以可以将4()表示为4()=(h2),相应 的有 △(A=w(A)h(A)=0.h(A)=0 凯莱一哈密顿定理告诉我们，任何一个A,k≥”，都 可以表示为4，A,,A,I的线性组合
式中， 是两两各异的根数， 是 的重数。若 是 的约当标准形，则 m i n λi A A ∏= Δ = − = − = − m i n i i 1 (λ) det( λ I A) det( λ I A) (λ λ ) 由于 ，所以可以将 表示为 ，相应 的有 ni ≥ ni Δ (λ) = ψ (λ)h(λ) Δ ( A ) = ψ ( A ) h ( A ) = 0 ⋅ h ( A ) = 0 凯莱 —哈密顿定理告诉我们，任何一个 ， ，都 可以表示为 的线性组合。 Δ(λ) k ≥ n k A A A ,L, A, I 1 2 , n − n − 证明 的特征多项式也可表示为 ∏= Δ = − = − m i n i i 1 (λ) det( λ I A) (λ λ ) A
例2一1已知 [110] A=010 001 △(2)=det(2I-A)=3-32+3-1 △(A)=A3-3AP+3A-I=0 A=3A2-3A+I
例2－1 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 A ( ) det( ) 3 3 1 3 2 Δ λ = λ I − A = λ − λ + λ − A A A I A A A A I 0 3 = − + Δ = − + − = 3 3 ( ) 3 3 2 3 2
·任何一个k≥n阶矩阵多项式4)总可以用一个n-1 阶矩阵多项式(A)表示。 f(A)=h(A)AB-A"-+.BA+BoI (2-25) 式中，B是线性组合系数。对应的n-1阶多项式h() 为 f2)=Bn-12"-1+…B1+Bo4h(2) (2-26) 线性组合系数B,的计算： 用下面n个方程便可确定n个系数B 0()=h0() (2-27) 式中，1=0,1,2，…，n-1;i=1,2,…,m P-2 (2-28) h(亿，)=d (2-29) dn 一旦确定了n个系数，，(A)也就随之确定
• 任何一个 阶矩阵多项式 总可以用一个 阶矩阵多项式 表示。 k ≥ n f (A) h(A) n −1 A A A A I 1 0 1 1 ( ) = ( ) Δ β + β + β f h n- n− L 式中， 是线性组合系数。对应的 阶多项式 为 β i 用下面 个方程便可确定 个系数 线性组合系数 的计算： β i n β i n ( ) ( ) ( ) ( ) i l i l f λ = h λ 式中， ； ， l = 0,1, 2,L, nl −1 i = 1, 2,L,m l i l i l d d f f λ λ λλ λ = = ( ) ( ) ( ) ( ) l i l i l d d h h λ λ λλ λ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 f λ β 1λ β λ β Δ h λ n = n- + + − L n −1 h(λ) （2－25） （2－27） （2－28） （2－29） （2－26） 一旦确定了 个系数 ， 也就随之确定。 n β i h(A)