(4)(e1-o)1=e4-o)=e4o- (5)e-o)=e4-)eAi-o) (2-18) 式（2一18)说明系统状态从t0时刻到t的转移 可看成两次转移：从to到t1的转移和从41到t的 再次转移。 3、状态转移矩阵e的计算 "是一种特殊的方阵函数，为了对其有更深入的 了解，将先介绍方阵多项式，然后研究方阵函数
( ) 1 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) t t t t t t e e e − − − − − = = A A A ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 t t t t t t e e e − − − = A A A ⑷ ⑸ （2－18） 式（2－18）说明系统状态从 时刻到 的转移 可看成两次转移：从 到 的转移和从 到 的 再次转移。 0t t 1t 0t 1t t 3、状态转移矩阵 的计算 t e A 是一种特殊的方阵函数，为了对其有更深入的 了解，将先介绍方阵多项式，然后研究方阵函数。 At e
(1)方阵多项式 设A是方阵，k是正整数，规定A=A4…A（k 个A连乘)及=I,另设f)是1的多项式，例如 f)=+21-3,则方阵多项式定义为 f(A)=A2+2A-3I 不难证明，若 其中A,与A2皆为方阵，则 (2-19) 若A=QAQ, 则 A=(2A0-1QA0-)(2A0-)=QAQ-1 及 f(A)=of(A)2 (2-20)
设 是方阵， 是正整数，规定 （ 个 连乘）及 ，另设 是 的多项式，例如 ，则方阵多项式定义为 A k A = AA L A k A = I 0 f (λ) λ ( ) 2 3 2 f λ = λ + λ − ( A ) A 2 A 3 I 2 f = + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 2 1 0 A A 0 A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = k k 2 1 0 A A 0 A k ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ( ) ( ) 2 1 0 A A 0 A f f f 1 ( ) ( ) − f A = Qf A Q k A 不难证明，若 其中 与 皆为方阵，则 若 ，则 −1 A = QA Q 1 1 1 1 ( )( ) ( ) − − − − A = QA Q QA Q QA Q = QA Q k L k 及 及 （2－19） （2－20） A1 A 2 ⑴ 方阵多项式
(2)最小多项式 。A的最小多项式是使(A)=0，阶次最低的首一多 项式()。 首一”是指其最高次项的系数为1； 0是与A有相同维数的零阵。 若A与A相似，则f4)=0的充分必要条件是(A=0。 A与A有相同特征多项式，并可表示为 △(2)=dct21-A)=det(元1-A=1(a-,) 式中，m是两两各异的特征值数，n,是入，的重数， 显然 n=
的最小多项式是使 ，阶次最低的首一多 项式 。 ψ ( A ) = 0 ψ ( λ) A “首一”是指其最高次项的系数为 1； 0 是与 有相同维数的零阵。 若 与 相似，则 的充分必要条件是 。 与 有相同特征多项式，并可表示为 A A f (A) = 0 f ( A ) = 0 ∏= Δ = − = − = − m i n i i 1 ( λ) det( λ I A ) det( λ I A ) ( λ λ ) A A 式中， 是两两各异的特征值数， 是 的重数， m ni λi ∑= = m i n ni 1 • A 显然 ⑵ 最小多项式
。A的最小多项式的求取 A的最小多项式可以由A的约当标准形直接得出。 元的指数n 假设A是A的约当标准形，对应每个特征值可以 有一个或多个约当块，将对应于的所有约当块中， 最高的阶次（维数）定义为元，的指数，记以n,。 例如，对应于的约当块为JJ2J 「J1 0 0 J,= 0 0 0 0J3 它们的阶次分别为3,2,1，则的指数可，=3。 1的约当块的一个特性 (I-J)m=0
• A 的最小多项式的求取 A的最小多项式可以由 的约当标准形直接得出。 A 的指数 假设 是 的约当标准形，对应每个特征值可以 有一个或多个约当块，将对应于 的所有约当块中， 最高的阶次（维数）定义为 的指数，记以 。 A A λi λi λi i n 例如，对应于 的约当块为 λi i1 i2 i3 J ,J ,J ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ = 3 2 1 i i i i 0 0 J 0 J 0 J 0 0 J 它们的阶次分别为 则 的指数 。 λi ni = 3 λi 的约当块的一个特性 I − J = 0 ni i ij (λ ) 3 , 2 , 1, ni
举一个简单的4重根（”=4 )的例子，设 1 0 0 0 1 0 J1 0 0 74 1. 0 002 则有 To -1 0 07 0-1 0 0 0 -1 (0,1-J)= 0 0 0 0 0 0 -1 (1-J)2= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 [0 00 -17 「000 0> 000 (01-J)3= 0 0 00 0 00 0 0 (1-J)4 =0 00 0 000 0000 若 「Ja 00 Ji= 0 J2 0 0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = i i i i i λ λ λ λ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 J 举一个简单的 重根（ ）的例子，设 4 n = 4 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) i i λ I J ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ( ) 2 i i λ I J ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) 3 i Ji λ I I J = 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 4 λi i 则有 若 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 i i i i 0 0 J 0 J 0 J 0 0 J